円の接線

円の二箇所の接線の交点までの長さは等しいと習いました。
多分証明ではニ角が等しいので二等辺三角形、よって円の二箇所の接線の交点までの長さは等しいと習いました。
と思いついたのですが、何処を度すればいいか分かりませんでした。
証明の仕方を教えて下さい（上記のものでなくてもＯＫです）

No.1 ベストアンサー 回答者： fuji2002 回答日時： 2004/01/06 20:23

これは普通、直覚三角形の合同条件を使って証明します。

円の中心をＯ
２つの接点をＡ、Ｂ△ＡＯＣと△ＢＯＣについて
　∠ＣＡＯ＝∠ＣＢＯ＝９０度
　ＯＣ＝ＯＣ（共有）
　ＡＯ＝ＢＯ（円Ｏの半径）

直角三角形△ＡＯＣと△ＢＯＣについて、２辺が等しいので、

△ＡＯＣ≡△ＢＯＣ
したがって、ＡＯ＝ＢＯ

よって、円の二箇所の接線の交点までの長さは等しい
・・・とまあ、こんな感じだったと思います。

この回答へのお礼

早速ありがとうございます。
後ほど、描いてやってみたいと思います。
後、この場で訂正を。
「二箇所の接線の交点までの長さは等しいと習いました」と書いてありますが、習ってません。

お礼日時：2004/01/06 20:26

No.3 回答者： osamuy 回答日時： 2004/01/06 20:38

円の中心をO、接線と円の接点をA、もう一つの接点をB、二つの接線の交点をPとすると、二つの三角形OAPとOBPが形作られる。

△OAPと△OBPにおいて、
・OA＝OB＝円の半径
・OP＝OP
・∠OAP＝∠OBP＝90°
直角三角形の合同条件より、△OAP≡△OBP
故に、AP＝BP

円の中心と接線が成す角度が90°である事は、自明でないかもしれませんね。
1)y軸上の点（0, a）を円の中心とする半径aの円を考えたとき、x軸が円の接線になる事。
2)任意の接線が1)と同じに見なせる事。
――っていう説明でなんとかなるかな。

No.2 回答者： borneo 回答日時： 2004/01/06 20:31

円の外側の１点をＡとします。

そしてそれぞれの接点を左側をＢ，右側をＣとします。円の中心はＯです。そうすると三角形ＡＢＯと三角形ＡＣＯができます。
　三角形ＡＢＯと三角形ＡＣＯにおいて、
それぞれは接線でしたから
　角ＡＢＯ＝角ＡＣＯ＝９０度で、直角三角形です。
ＡＯ＝ＡＯ（共通）
ＢＯ＝ＣＯ（円の直径）
したがって斜辺と他の１辺が等しいので、
三角形ＡＢＯ≡三角形ＡＣＯ
ゆえにＡＢ＝ＡＣ
となり、円の交点までの長さは等しくなります。