【数学】 接点が異なれば、接線が異なる条件とかってあるんですか？普通、四次関数はそれをみたさないとし

【数学】
接点が異なれば、接線が異なる条件とかってあるんですか？普通、四次関数はそれをみたさないとして、重解を2個持つような条件式があると思いますが、一般的な式はあるのでしょうか？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/19 03:33

↓これの続きかな？

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11962991.html

前回は、f’(x) が単調な関数だったので、
接点の x座標 p, q が異なる
⇒ f’(p) と f’(q) は異なる
⇒ x=p での接線と x=q での接線は異なる
と言えたのです。

一般の関数 f(x) については、
接点が異なれば接線が異なるとは限りません。
異なる接点を持つひとつの接線を共通接線といいますが、
y = ax+b が y = f(x) の共通接線である条件は
f(x) - (ax+b) = 0 が復数の重解を持つことです。　←[＊]

f(x) が 3次以下の多項式なら、重解は 1組以下ですし、
f(x) が 4次関数なら、2組の重解を持つ場合があります。
多項式と限らない一般の関数 f(x) について
[＊] を言い換える他の表現は思いあたりません。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2020/10/18 23:17

おっしゃる通り、至る所滑らかな関数f(x)について、

　　どんな(a,b)についても方程式 f(x)=ax+b が「重解を2個持つ」ことはない
は、グラフy=f(x)に2点で接する接線が存在しない必要十分条件ですね。
　その両辺をxで微分して、
　　どんなaについても、方程式 f'(x)=a が解を高々1個しか持たない
　　（言い換えれば、 f'が真に単調である）
は十分条件ですし、さらに両辺を微分して、
　　方程式 f''(x)=0 が解を持たない
も十分条件ですよね。