曲線x^2/4+y^2=1 (x>0,y>0)上の動点Pにおける接線と、x軸、y軸との交点をそれぞれQ,Rとする。
このとき線分QRの長さの最小値と、その時の点Pの座標を求めよ。
という問題なのですが、Pを(p,√(1-p^2/4))とおいて接線を求め、QRの長さを出したのですが、最小値が求められません。
ちなみに、接線はpx/4+√(1-p^2/4)y=1、QRの長さは√{(64-12p^2)/p^2(4-p^2)}となりました。
考え方自体が違うのかもしれないのですが、ヒントだけでいいので教えて頂けたら幸いです。
よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
楕円の媒介変数表示を使うと良いだろう。
P(2cosθ、sinθ)とすると、x>0,y>0 より 0<θ<π/2 ‥‥(1)
点Pにおける接線の方程式をθでもとめると、点Qと点Rがθで求められる。
そこで、QR^2 をθでもとめると、θの関数になるから、sin^2θ=t とすると、(1)より0<t<1。
分母は、tの2次関数になる。分母が最大なら、全体は最小になる。
実際の計算は、自分でやって。
No.3
- 回答日時:
楕円の媒介変数表示を使わなくても解ける。
P(α、β)とすると、α^2+4β^2=4 2>α>0、1>β>0 としてやればよい。
QR^2はαとβであらわせるから、最後にαかβのどちらかを消してやると、媒介変数を使ったのと同じ結果になる。
No.2
- 回答日時:
えっと、x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 の楕円の周上の点Pは、
媒介変数θを使って、x = a*cosθ、y = b*sinθとおけるの知ってますか?
x>0,y>0 なら、0<θ<π/2 です。
(ただし、円のように、OPとx軸のなす角がθになる訳じゃないので、そこには注意)
これを使って、接線の式を求めると、計算が劇的に簡単になります。
質問者さんの置き方でも、答えは出せますが、腕力に近い計算力^^が必要になります。
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