数学IIIの微分の問題です。教えてください！

2つの曲線ｙ＝ｋｘ＾２　、ｙ＝logｘ　が共有点を持ち、その共有点における接線が
一致するような定数ｋの値を求めよ。

微分の問題が苦手でどうやって考えてとけばいいのか分かりません。
詳しく教えてください、よろしくお願いします！
ちなみに答えはｋ＝１/２eになります。

No.1 回答者： tetsuro53 回答日時： 2013/02/22 02:28

どうやって考えるか

については、自分はとりあえずグラフを書きます。

グラフを書けば、この問題の場合、2つの曲線が接している場合のことを言っているのだな、とわかります。

するとすぐにk>0でなければならないと分かります。
(今回の場合は答えに影響無し)

kx^2=logx は共有点のx座標を求めることができる方程式

微分して=でつなげた
2kx=1/x は傾きが等しいxを求めることができる方程式

したがって、これを連立(x消去)すればこの2つを同時にみたすkを求めることができる、ということです。

たぶん。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/02/22 03:32

y=kx^2上の共有点Pの座標を(p,log(p))とおくと

y=kx^2上の点でもあるから
　log(p)=kp^2 ...(1)
点Pでの接線の傾きの条件から
　2kp=1/p　...(2)

(2)より
　p^2=1/(2k)　...(3)
(3)を(1)に代入
　-(1/2)log(2k)=1/2
　log(2k)=-1
　2k=1/e
∴k=1/(2e)

このときの共有点Pは
(3)より　p^2=e ∴p=√e
　∴P(p,log(p))=(√e,1/2)
この共有点における共通接線の方程式は
　y=(x-√e)/√e +(1/2)
∴y=(x/√e)-(1/2)
となります。