f(x)=3sin2x+4cos2x-a|sinx+cosx|-4 (aは実数)
で、t=sinx+3cosxとしたときの問題です。
tのとりうる範囲→-3≦t≦10^1/2
f(x)をtであらわすと→f(x)=t^2-a|t|-9という小問までは普通に解けました。
最後の小問が、「xの方程式f(x)=0が、0≦x≦πの範囲に2つの解をもつようなaの値の範囲を求めよ」、というものなのですが、
模範解答では、1つのtに対して2つの解(x)が対応するtの範囲(3≦t<10^1/2…*)、
1つのtに対して1つの解(x)が対応するtの範囲(-3≦t<3、t=10^1/2…**)
をそれぞれ求めたうえで、g(t)=t^2-a|t|-9…***とy軸の交点の存在するtの範囲を求める、
という方向性になっていて、a<0、a=0、a>0に場合分けして考えています。
(答えはa<0、0<a<10^(-1/2))
これに対して私は、*の範囲の時***がひとつの解、**の範囲の時***が2つの解をもてばいいと考えて、
前者がg(±3)>0のとき (このときa<0)、
後者がg(±3)<0かつg(10^1/2)>0のとき (このとき0<a<10^(-1/2))、
t=10^1/2は不適、となり、最終的な答えは正しくなりました。
ただ、aについて場合分けしていないため、g(t)=0のグラフの形がやや違っている(私はU字型の曲線しか考えていませんが、aの値によってはW字型のグラフにもなるようです。)ことが気になります。
私の解答は正しいのでしょうか?よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
f(x)=3sin2x+4cos2x-a|sinx+3cosx|-4
の間違いですかね。
本題の、質問についてですが
基本的な考え方は質問者さんのやり方でもOKです。
ただ、
>前者がg(±3)>0のとき (このときa<0)、
>後者がg(±3)<0かつg(10^1/2)>0のとき (このとき0<a<10^(-1/2))、
というのは論理の飛躍があります。おそらく減点されるでしょう。
質問者さん自身が気づいているように、
>私はU字型の曲線しか>考えていませんが、aの値によってはW字型のグラフにもなる
わけです。
なんで、前者、つまり、「方程式g(t)=0が-3≦t<3の範囲に1つのみ解を持つ」条件を、きちんと考えるためには、aの値で場合分けする必要があります。
結局のところ、質問者さんの方針で解くなら、
・前者(方程式g(t)=0が-3≦t<3の範囲に1つのみ解を持つ)の条件を満たすaの範囲を調べるために、aについて場合分けする
・後者(方程式g(t)=0が3≦t<10^1/2の範囲に2つの解を持つ)の条件を満たすaの範囲を調べるために、aについて場合分けする
・方程式g(t)=0が、t=10^1/2という解を持つような、aが存在するか調べる
必要があります。
No.1
- 回答日時:
f(x)=3sin2x+4cos2x-a|sinx+cosx|-4 (aは実数)
で、t=sinx+3cosxとしたときの問題です。
tのとりうる範囲→-3≦t≦10^1/2
f(x)をtであらわすと→f(x)=t^2-a|t|-9という小問までは普通に解けました。
>問題かf(x)=t^2-a|t|-9に誤りがある
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