定理 群Gの部分集合Mによって生成される部分群H=〈M〉はMを含むGの部分群のうち最小なものである。
証明 H⊃MであることはHの定義より明らかである。また、Mを含むGの任意の部分群をUとすれば、Mの元のべき積はすべてUに含まれ、H⊂Uを得る。したがって、HはMを含む最小な部分群である。
(1)なぜMの元のべき積で表される元の全体Hは明らかにGの部分群なんでしょうか。
例えばもし部分集合Mに単位元、逆元がなかったらHは部分群にならないように思えます。
(2)証明の2文目までは理解できましたが、
「したがって」以降、つまり3文目が理解できません。H⊂UからなぜHが最小だと言えるのでしょうか。
よろしくお願いします。
No.3
- 回答日時:
具体例とかそんな話ではないです
「最小の部分群である」ことを証明せよ
というのだから
「最小の部分群」なる言葉の定義があって
それを満たすことを証明しなければいけません.
もし「最小の部分群」なる言葉の意味がわからないのであれば
何を証明するのかわかってないのですから
証明がわかるわけはないですよね.
教科書にどこかに書いてませんか?
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