数学の問題です。

「ある７桁の整数が９の倍数である時、各桁の整数の和が９の倍数であることを証明せよ。」
この問題がわかりません。逆のパターンはよく見かけるのですが・・・

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/05/31 02:36

じゃあとりあえず逆のパターンで証明してみて.

No.2 回答者： lupan344 回答日時： 2015/05/31 12:23

逆でも同じだとは思いますが、回答としては以下のとおりです。

7桁の各桁は、左はじから、それぞれ10^6、10^5、10^4、10^3、10^2、10^1、10^0を意味する。
7桁のそれぞれの数をa、b、c、d、e、f、gとすると、ある７桁の整数x＝a×10^6＋b×10^5＋c×10^4＋d×10^3＋e×10^2＋f×10^1＋gとなる。
10^6、10^5、10^4、10^3、10^2、10^1から、それぞれ1を引いて、x＝a×(10^6-1)＋b×(10^5-1)＋c×(10^4-1)＋d×(10^3-1)＋e×(10^2-1)＋f×(10^1-1)＋a＋b＋c＋d＋e＋f＋gと変形します。
x＝9nかつ、10^m-１が9の倍数である事から、a＋b＋c＋d＋e＋f＋gが9の倍数でなければ、xは9の倍数とならない。

No.3 回答者： tekcycle 回答日時： 2015/06/02 00:14

「判らない数をｘと置いてから考えてみよう」というのは基本テクニックですが、これはその数全体をｘと置いてしまったら、解きにくいでしょう。

7桁は面倒なのでまず2桁で考えると、二桁の数は、a×10＋b、と書けますよね。(ａは1～９、bは0～9)
んでこれは、a×(1＋9)＋bと。
このように表記することが、この問題を解くポイントでしょう。
じゃぁ三桁だとどうなるのか。
何となくこの手の問題を見たことがある、のではなく、このポイントがスラスラ出てくるようにしておかなければなりません。
そうするには、問題と解答をうろ覚えするのでは無く、最初はうろ覚えでも、問題演習をしてみて、自分にはそのポイントが出てこないことを自覚し、問題演習を繰り返すことで、それがいつでも出てくることを確認しておかなければなりません。
宿題やテストの時だけどうにかしようとしても、そりゃ無理だし、それができても何の力にもならない。
また、いきなり七桁のことを考えるのでは無く、「まずは解り易い範囲のことを考えて」徐々に拡張していくのが吉です。

No.4 回答者： モリシゲ 回答日時： 2015/06/07 13:04

7桁の整数を

a*10^6+b*10^5+c*10^4+d*10^3+e*10^2+f*10+g　-　-　-　①
とすると、これが９の倍数だから、9ｍと表すことができる。
ただし、a,mは自然数、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆ、ｇは、ゼロもしくは自然数。

ここで、式①は、
a*999999+a+b*99999+b+c*9999+c+d*999+d+e*99+e+f*9+f+g
＝9*ｎ+a+ｂ+ｃ+ｄ+e+ｆ+ｇ
=9*m
ただし、ｎは自然数
よって、
a+ｂ+ｃ+ｄ+e+ｆ+ｇ=9*m-9*ｎ
　　　　　　　　　　　=９*（ｍ-ｎ）
ここで、（ｍ-ｎ）は整数だから、これは９の倍数である。