高校数学、図形

aを正の数とする。次の条件を満たす４面体ＯＡＢＣを考える。
∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＣ＝９０度、ＯＢ＝４、ＢＣ＝５、ＯＣ＝４、ＯＡ＝a
（１）∠ＢＡＣ＝θとおく。cosθをaで表せ。
また、三角形ＡＢＣの面積をaで表せ。
（２）球面Ｓ１が４面体ＯＡＢＣのすべての面に接するとき、Ｓ１の半径をaで表せ。
（３）Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｃが球面Ｓ２上にあるとき、ｓ２の半径をaで表せ。
（疑問）
（１）（２）は問題集の解答とあっていたのですが、
（３）が自分の考え方がどうも違うらしく、解答と合いません。
（自分の考え）
∠ＢＯＣ、∠ＣＯＡ、∠ＢＯＡ＝９０度より、外接球の中心をＰとすると、
Ｐから各直角三角形へおろした垂線の足は各直角三角形の斜辺の中点上になる。
よって各直角三角形の垂直２等分線上の三角形ＡＢＣの外心がＰと一致するとしたのですが、どこがまずいのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 

  大変申し訳ございません。
  条件部分に間違いがありました。
  ×ＯＣ＝４○ＯＣ＝３です。
  三角形ＢＯＣについて4^2+3^2=5^2ですから、∠ＢＯＣ＝９０度です。

    補足日時：2015/08/27 21:34

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/08/31 01:03

最終結果はそれで OK＞#2.

まあ, OA, OB, OC が互いに垂直だから四面体OABC の外接球は OA, OB, OC を 3辺とする直方体の外接球に一致することに気付けば簡単.

No.2 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/08/28 23:39

∠ＢＯＣ、∠ＣＯＡ、∠ＢＯＡ＝９０度より、外接球の中心をＰとすると、

Ｐから各直角三角形へおろした垂線の足は各直角三角形の斜辺の中点上になる。
よって各直角三角形の垂直２等分線上の三角形ＡＢＣの外心がＰと一致する

普通、上記のような書き方だと、わかりにくいのでは？
そのような書き方をしないのでは？
言いたいことはわかりますが・・・・・
表現の仕方が難しいですね。自分でも、どのように書いたらいいのか悩みます。

「Ｐが三角形ＡＢＣの外心と一致する」とすると、
ＡＰ＝ＢＰ＝ＣＰ
になるわけですが、
例えば、辺ＡＢの中点をＭとすると、
Ｐは三角形の外心だから、
∠ＡＭＰ＝∠ＢＭＰ＝９０°
になり、三角形ＡＭＰと三角形ＢＭＰで、それぞれ三平方の定理より、
ＡＰ＾2＝ＡＭ＾2+ＭＰ＾2
ＢＰ＾2＝ＢＭ＾2+ＭＰ＾2
ＡＭ＝ＢＭだから
ＡＰ＾2＝ＢＰ＾2
つまり、
ＡＰ＝ＢＰ

問題は、このとき、
ＯＰ＝ＡＰ（＝ＢＰ＝ＣＰ）になるかどうかですが、
三角形ＯＡＢは、∠ＡＯＢ＝９０° の直角三角形だから、
ＯＭ＝ＡＭ（＝ＢＭ）になります。
ここで、
∠ＯＭＰ＝９０° かどうかがわからないから
三角形ＯＭＰで、三平方の定理が使えないことになります。
だから、
ＯＰ＾2＝ＯＭ＾2+ＭＰ＾2 （この式が作れないから、これ以降が考えることができない）
ＯＭ＝ＡＭだから、
ＯＰ＾2＝ＡＰ＾2
つまり、
ＯＰ＝ＡＰ
が成り立たないと思います。

だから、質問の考え方だと、「まずい」ことになるのではないでしょうか。

三角形ＯＢＣが三辺の長さがわかるので、
三角形ＯＢＣを底辺にして考えると、わかるのではないでしょうか。

∠ＢＯＣ＝９０° がわかったから、
∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝∠ＡＯＣ＝９０° だから、
ＡはＯの真上にあります。

三角形ＯＢＣは、∠ＢＯＣ＝９０° の直角三角形だから、
三角形ＢＯＣの外心をＤとすると、Ｄは辺ＢＣ上にあります。
（このとき、ＢＣ＝5より、ＢＤ＝ＣＤ＝ＯＤ＝5/2）
球面Ｓ２の中心Ｐは、このＤの真上にあります。
三角形ＢＯＣ⊥ＰＤ だから、
∠ＰＤＢ＝∠ＰＤＯ＝∠ＰＤＣ＝９０°
三角形ＰＤＢ、三角形ＰＤＯ、三角形ＰＤＣで、それぞれ三平方の定理を使えば、
ＰＢ＝ＰＯ＝ＰＣ
が成り立ちます。

また、ＰＯ＝ＰＡであるから、
ＯＡの中点をＥとすると、
ＰＤ＝ＯＥ＝ＡＥ＝a/2
だから、
ＰＯ＾2＝ＯＤ＾2+ＰＤ＾2
＝（5/2）＾2+（a/2）＾2
＝25/4+a＾2/4
ＰＯ＞０より
ＰＯ＝(1/2)√(a＾2+25)
になるのではないでしょうか。

答えが、合っていればよいのですが・・・・・。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/08/28 00:03

まず, S2 の中心を P とすると P は 4点 O, A, B, C から等距離にある. んで, 例えば直角三角形OAB の 3点から等距離にあるってことは, P は斜辺 AB の中点 D (直角三角形OAB の外心) を通って面OAB に垂直な直線上 l にある.

ところが条件から C は O を通って面OAB に垂直な直線上にある. つまり l と面ABC の交点は D だけだ.