広義積分の計算なのですが、∫[0～1] logx dxこれはどうして＝lim[ε→+0] ∫[

広義積分の計算なのですが、
∫[0～1] logx dx
これはどうして
＝lim[ε→+0] ∫[ε〜1] log x dx
=lim[ε→+0] [xlog x-x] (ε〜1)
=lim[ε→+0] {-1-εlog ε+ε}
=-1
とε→+0になるのですか？

No.3 回答者： rinkun 回答日時： 2015/11/27 13:17

> ε→+0

これがなぜ ε→0 でないか? という意味なら log x の定義域が x>0 だから。

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2015/11/26 23:57

不定積分 ∫ log x dxは部分積分 ∫f'g dx=[fg]- ∫fg' dxを用いて求めることができる。

ここにf'=1,g=logxとする。f=x,g'=1/xゆえ

∫ log x dx=[xlogx]-∫x(1/x)dx=[xlogx]-∫1dx=xlogx-x

log xはx→0で-∞となるので問題の計算を広義積分で扱う。

∫[0～1] logx dx
＝lim[ε→+0] ∫[ε〜1] log x dx
＝lim[ε→+0] [xlog x-x] (ε〜1)
=lim[ε→+0][(1log1-1)-(εlog ε-ε)]
=lim[ε→+0][ε-εlog ε-1]
=-1

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/11/25 23:33

ほかに方法があるんでしょうか?