数学的帰納法の不等式についてです。 nを5以上の整数とするとき不等式2^n>4n+1を証明せよ、につ

数学的帰納法の不等式についてです。
nを5以上の整数とするとき不等式2^n>4n+1を証明せよ、についてなのですが、>2(4k+1)-(4k+5)ってのがよく分かりません。
だれか教えてください！

No.1 ベストアンサー 回答者： 北のトラさん 回答日時： 2016/04/22 17:37

２＾ｋ＞４ｋ＋１　が成り立つとして仮定していますので、　２＾ｋは４ｋ＋１よりは大きいので

２✕２＾ｋ－（４ｋ＋５）　を、ｋの一次式として解き、正負を確かめるために、２＾ｋに（４ｋ＋１）を代入・置換したと考えてください。
正負が分かれば良いので、近似値の中の最小値（等号があるとして）を入れても問題ないということです。

後は、解説通りの計算で　＞０が成立するので、となります。

参考までに。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/04/22 19:23

n=5の時は

2^5=32
4・5+1=21
なので　2^n>4n+1が成立。

2^k>4ｋ+1の時に成立すると仮定したら2^(k+1)>4(ｋ+1)+1：①
が成立する事さえ言えたら良い訳だから
①の左辺-右辺>0を確認してる。

左辺-右辺の式をいじって>0を導き出してるだけ。
途中経過はドーでも良くて、①が成立すれば良いだけ。

そうスリャ、k=5が成立たらk=k+1の６も成立
k=６が成立したらk=k+1の7も成立
以下延々
k=5は成立してるから、k>=5 の全てで成立。