数学的帰納法の不等式の証明について質問させていただきます。
nは3以上の自然数とする。不等式 2のn乗>2n+1 ・・・(1)を数学的帰納法により証明せよ
この問題で、n=3のときを証明し、次にk≧3としてn=kのとき(1)が成り立ち、 2のk乗>2k+1 ・・・(2)と仮定する。
つぎに、n=k+1のとき(1)の両辺の差を考えると、
(2)より 2のk+1乗-{2(k+1)+1}=2・2のk乗-(2k+3)>2(2k+1)-(2k+3)となります。この>の右側の2(2k+1)-(2k+3)の部分がなぜこうなるのか分かりません。
できるだけ詳しく解説をお願いしたいです。よろしくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
回答させていただきます。
この2(2k+1)とは、
2のk乗>2k+1 ・・・(2)を利用しています。
まず、n=k+1のときの両辺の差を考えることで、2のk+1乗が2(k+1)+1よりも大きいことを示します。
これを示すことによって、常に2のn乗>2n+1が成り立つことが証明されます。
そして、
2・2のk乗-(2k+3)は、
2のk乗>2k+1を利用するために、2のk+1乗-{2(k+1)+1}が変形されたものです。
2のk乗に変形することにより、そこに2k+1を代入します。
そして代入した結果が、2(2k+1)-(2k+3)です。
しかし、2のk乗>2k+1であるため
2・2のk乗-(2k+3)=2(2k+1)-(2k+3)のように、イコールでは繋げず、
2・2のk乗-(2k+3)>2(2k+1)-(2k+3)のように不等号になるのです。
そのあとは、2・2のk乗-(2k+3)>2(2k+1)-(2k+3)=2k-1となり、
k≧3であるため、2k-1>0であることが示され、
2のk+1乗が2(k+1)+1よりも大きいことが示されます。
あとは上記のとおりです。
要するに、2・2のk乗-(2k+3)から2(2k+1)-(2k+3)に変形するのは、
2のk+1乗が2(k+1)+1よりも大きいことを示すための計算を楽にするためです。
以上で回答を終わらせていただきます。
下に参考となるサイトを添付しておきます。
つたないのもので申し訳ありませんでした。
参考URL:http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/inductive …
ご丁寧にご回答ありがとうございます。
よく考えてみると単純なことでした・・・
参考サイトまで載せていただき本当にありがとうございました
No.2
- 回答日時:
n=3のとき、2^n>2n+1は成り立つ。
n=k(ただしk≧3)のときに2^k>2k+1が成り立つとすると、
2^(k+1)-{2(k+1)+1}
=2・2^k-(2k+3)
ここで、仮定より、2^k>2k+1であるから、
2・2^k-(2k+3)>2・(2k+1)-(2k+3)=2k-1>0
よって、2^(k+1)>2(k+1)+1より、n=k+1の場合にも成り立つ。
∴n≧3の場合、2^n>2n+1は成り立つ。
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