静止している質量がMで半径がRの一様な球体が水平面と角度θ＝30をなす斜面を転がり落ちた。斜面の下端

静止している質量がMで半径がRの一様な球体が水平面と角度θ＝30をなす斜面を転がり落ちた。斜面の下端に達したときの質量中心の加速度の大きさaを求めなさい。なお、球体の質量中心の周りの慣性モーメントはI＝2MR”/5である。
解き方教えてください！

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/06/25 09:47

蛇足ですが、上付数字の表示って、サーバの気分で

かわるっぽいですね。
今日は全然見えない。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/24 23:10

No.2です。

読み返してみたら、「2乗」の表示がおかしくなっていましたね。訂正してもう一度記載します。

単純に摩擦なしで滑り落ちるのに対して球を回転させるのに「力」をとられるので、重心位置の「並進運動」の加速度は滑り落ちる場合よりも小さくなります。

なお、質問文中の球体の質量中心の周りの慣性モーメントは
　I＝2MR^2 /5
ですね、きっと。


（１）静止位置の高さを H とすると、そこからの高さ y まで落下したときの位置エネルギー差は
　位置エネルギー差 ＝ Mg(H - y)　　(A)

（２）その位置での重心（球の中心）の速度（斜面と平行に下方向）を v とすると、球の周速度が v ということなので、回転の角速度 ω は
　　R*ω = v
より
　ω = v/R

（３）このときの物体の力学的エネルギーは
　　並進の運動エネルギー：（1/2）Mv^2
　　回転の運動エネルギー：（1/2）Iω^2 = (1/2) * 2MR^2 /5 * (v/R)^2 = Mv^2/5
なので、力学的エネルギー保存則より、この和が(A)に等しいとして
　　(1/2 + 1/5)Mv^2 = Mg(H - y)
つまり
　　(7/10)v^2 = g(H - y)　　(B)

（４）これを時間で微分すると
　　(7/5) v * (dv/dt) = -g*(dy/dt)

（５）ここで、v * sin(30°) = -dy/dt　なので
　　(7/5) v * (dv/dt) = g * v * sin(30°)
　よって
　　dv/dt = (5/7) * g * sin(30°)
　　　　 = (5/14) * g

　これは斜面の高さ H を含まないので、斜面を運動中は一定加速度ということになります。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/23 20:54

これ、けっこう面倒なのですよね。

単純に摩擦なしで滑り落ちるのに対して球を回転させるのに「力」をとられるので、重心位置の「並進運動」の加速度は滑り落ちる場合よりも小さくなります。

なお、質問文中の球体の質量中心の周りの慣性モーメントは
　I＝2MR^2 /5
ですね、きっと。


（１）静止位置の高さを H とすると、そこからの高さ y まで落下したときの位置エネルギー差は
　位置エネルギー差＝Mg(H - y)　　(A)

（２）その位置での重心（球の中心）の速度（斜面と平行に下方向）を v とすると、球の周速度が v ということなので、回転の角速度 ω は
　　R*ω = v
より
　ω = v/R

（３）このときの物体の力学的エネルギーは
　　並進の運動エネルギー：（1/2）Mv2
　　回転の運動エネルギー：（1/2）Iω2 = (1/2) * 2MR2 /5 * (v/R)2 = Mv2/5
なので、力学的エネルギー保存則より、この和が(A)に等しいとして
　　(1/2 + 1/5)Mv2 = Mg(H - y)
つまり
　　(7/10)v2 = g(H - y)　　(B)

（４）これを時間で微分すると
　　(7/5) v * (dv/dt) = -g*(dy/dt)

（５）ここｄ、v * sin(30°) = -dy/dt　なので
　　(7/5) v * (dv/dt) = g*v * sin(30°)
　よって
　　dv/dt = (5/7) * g * sin(30°)
　　　　 = (5/14) * g

　これは斜面の高さ H を含まないので、斜面を運動中は一定加速度ということになります。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/06/23 20:48

>斜面の下端に達したときの質量中心の加速度の

>大きさaを求めなさい。

加速度は一定のはずですけど、正確に問題を写せてますか?

玉の進行方向に働く重力は Mgsinθ
玉が加速度はaで動くときの角加速度は「斜面が滑らない」
とすると α=a/R
玉が加速度aで動くにはIαのトルク、つまり
Iα/Rの制止摩擦が必要。
従って運動方程式は、

Ma+Iα/R=Mg・sinθ

Ma+Iα/R=Ma+(2/5)MR^2(a/R)/R=Ma(1+2/5)=(7/5)Ma=Mg・sinθ

a=(5/7)g・sinθ

つまり斜面が滑る場合に比べ玉が1.4倍加速が小さくなる
ということです。