ロビンソン・クルーソー経済の計算

U=F^2Cの効用関数をもつロビンソンクルーソーが、ココナッツCの生産と魚Fをとるために、彼の一日の労働時間六時間を適切に配分している。ココナッツの生産関数をC=5√Lc, 魚の生産関数をF=6Lfで与えられている。Lc,Lfはそれぞれココナッツと魚の生産に費やされる労働時間である。
一日の労働時間六時間を適切に配分して効用を最大化させるCとFを求めよ。

という問題なのですが、CとFの関数を効用関数に代入するとLの2/5乗などがでてきてとても微分して最大化できません。
他に何かやり方があるのでしょうか？
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• もうひとつ、計算の二行目から三行目への変化がよくわからなかったので、もうすこしくわしくおしえていただきたいです。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/08/08 16:33

No.3 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/08/08 17:27

関数の積の微分とは

y = f(x)g(x) ⇒ y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
であり、合成関数の微分とは
z = f(y), y = g(x) のとき、ｚ= f(g(x))をｘで微分するときは
dz/dx = dz/dy・dy/dx = f'(y)g'(x) = f'(g(x))g'(x)
が成り立つ。

No2での微分では
U = 180Lf^2・(6-Lf)^(1/2)
をLfで微分することになるが、いまわかりやすくするためU=Z,Lf=xと置き換え、定数180を無視すると
Z = x^2・(6-x)^(1/2）
となるが、さらにf(x)=x^2、g(y)=y^(1/2)、y=6-xとおくと、関数の積の微分の公式と合成関数の微分の公式より

dZ/dx = f'(x)g(y) + f(x)[g'(y)dy/dx]　　　　(*)

となるが、ここで、
f'(x) = 2x
g(y)=y^(1/2) = (6-x)^(1/2)
g'(y) = (1/2)y^(-1/2) = (1/2)(6-x)^(-1/2)
dy/dx = -1
である。これらを(*)に代入すると

dZ/dx = 2x(6-x)^(1/2) + x^2・(1/2)(6-x)^(-1/2)・(-1)
= 2x(6-x)^(1/2) - (1/2)x^2・(6-x)^(-1/2)
　　　 = 2[x(6-x)^(1/2) - (1/4)x^2・(6-x)^(-1/2)]

となる。これでよろしいでしょうか？

この回答へのお礼

わかりました！
詳しくありがとうございました。

お礼日時：2016/08/08 18:50

No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/08/08 16:02

あなたは合成関数の微分と関数の積の微分を知らないのでしょうか？

問題は
max U= F^2・C
s.t.
C = 5(Lc)^(1/2)
F = 6Lf
Lc + Lf = ６
を解くことである。
制約式を効用関数へ代入すると

U = (6Lf)^2・(5√(6-Lf)) = 180Lf^2・(6-Lf)^(1/2)

となるが、UをLfで微分して０と置くと

0 = dU/dLf = 180[2Lf・(6-Lf)^(1/2) + Lf^2・(-1/2)(6-Lf)^(-1/2)]
= 360Lf[(6-Lf)^(1/2) -(1/4)Lf・(6-Lf)^(-1/2)]
= 360Lf[{4(6-Lf) - Lf}/4(6-Lf)^(-1/2)]
よって
　　24 - 5Lf = 0
つまり
Lf = 24/5
　　Lc = 6 - 24/5 = 6/5
を得る。

と結果は簡単になります。確かめられたい。計算に質問があれば追加コメントをしてください。

この回答へのお礼

すっかり合成微分を忘れていました。やったことはある程度です。
一行目なのですが、なぜマイナス1/2が(6-Lf)^-1/2の前に出てくるのでしょうか？マイナスがつくのがなぜがよくわかりません。自分では+じゃないかと思ってしまうのですが…

お礼日時：2016/08/08 16:23

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/08/08 05:42

>CとFの関数を効用関数に代入するとLの2/5乗などがでてきてとても微分して最大化できません。

私の計算にはそんな変な冪乗はでてきません。非常に簡単な結果が出てきます。途中で計算間違いをしているのではないか？あなたの計算を見せてください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
計算は、
U=36Lf^(2)×5Lc^(1/2)
=180(36-12Lc+Lc^2)×Lc^(1/2)
です。
どこが違うのでしょうか。

お礼日時：2016/08/08 12:32