四色問題のヒーウッドの公式の種数（閉球面にあいた穴の数）の意味について

「二次元平面状の地図は、境界線で接する領域を異なる色にする条件で塗り分ける場合、四色で必要十分である」、という19世紀後半に提示された四色問題について、ヒーウッドが導き出した公式がありますね。三次元球体の球面上に描かれた地図も二次元平面上の地図と同等に扱えるということで、その球体に何個の穴があいているか、つまり種数＝ｇの数と塗りわけに必要な色の数の関係を表している公式です。確か、必要な色の最大数＝（7＋√1＋48g）/2という式だったと思います。この式について、ｇが1以上の場合は証明されているということですが、0の場合は証明されていないのでしょうか？ロビンウィルソン著の『四色問題』ではg＝0の場合は式が適用できないという意味の記述があったと記憶しているのですが、どうなのでしょうか？g＝0を式に代入すると最大必要な色の数が4と出てくるのは偶然であるという意味のことが書かれているのですけれど・・・。

No.3 回答者： usa3usa 回答日時： 2016/09/14 12:17

＞g＝0の場合にヒーウッドの公式が適用できないことの具体的な説明がほしいと思ってしまうのです。

ご自分でヒーウッドの公式の証明を理解する以外に無理な気がします・・・

よい例かは不明ですが、g=0が特別な感じは以下の例で感じてください
X^nの微分の公式はご存知ですよね。
ｎX^(n-1)です。
積分はその逆ですよね。
微分して　１／ｘ　すなわち、ｘ^(-1) の積分は何になりますか？
上記の「微分の公式」からは導かれないこと理解できますでしょうか？

この回答へのお礼

再々のアンサー、本当にありがとうございます。ここまで、辛抱強くお答えくださったことにひたすら感謝いたします。ありがとうございました。

お礼日時：2016/09/15 10:28

No.2 回答者： usa3usa 回答日時： 2016/09/13 17:57

>「1以上とは全く別の手法が必要＝gが0の場合は、この式が適用できない」という意味に解釈してよろしいのでしょうか？

その通りです。

g=1の場合は７色あれば十分とわかっていて、７色必要な図形が見つかっていて、証明終わり。
g=0の場合は５色あれば十分なことがわかっていますが、５色必要な図形が見つかっていません。

コンピュータを使って、５色必要な図形を見つけようとしましたが、見つからず、「４色で塗り分けられない図形は存在しない（らしい）」という段階に来ています。

この回答へのお礼

丁寧なアンサー、ありがとうございます。ただ、素人の悲しさか、g＝0の場合にヒーウッドの公式が適用できないことの具体的な説明がほしいと思ってしまうのです。本当は、ｇが1以上のときに公式が正しいという証明がどのようになされているのか、自分で確認するのが筋だと思うのですが、一般向けに出版されている書籍やインターネットで調べてみてもその証明文を見つけられず、また、見つけられたとしても、おそらく英文で書かれているだろうし、専門の数学用語が駆使されていて、素人では解読不可でしょう。概略が素人にもわかるように解説されている資料を見つけられればと思うのですが、ないものねだりですね。お答えいただけたことに感謝しつつ、g＝0のときに公式が適用できるかどうかの疑問を、自分なりに新たな質問として発してみようと思います。

お礼日時：2016/09/14 10:06

No.1 回答者： usa3usa 回答日時： 2016/09/12 17:52

＞ｇが1以上の場合は証明されているということですが、0の場合は証明されていないのでしょうか

四色問題の解決は「確実」という段階だと思いますので、
2016年現在では正しい理解と思います。

０の場合の証明方法は、１以上とは全く別の手法が必要で、
　不可避集合をみつけて、
　コンピュータを使ってしらみつぶしに調べて
　４色でぬれない図がないことを示す
ということをしています。

この回答へのお礼

早速のアンサー、ありがとうございます。お答え戴いた内容からすると、「1以上とは全く別の手法が必要＝gが0の場合は、この式が適用できない」という意味に解釈してよろしいのでしょうか？呑み込みの悪い質問者でごめんなさい。

お礼日時：2016/09/13 09:52