フィボナッチの応用？です。

至急お願い致します。

P0=15, P1=57,
Pn=Pn-1+Pn-2 ( nは2以上の整数) とする時、

3＾k/P2017 が整数となるkの最大値を教えてください。
（2017が小さく表示できませんでした。nが2017ということです）

フィボナッチ数列からできそうなのですが、わかりません。

No.2 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2016/11/09 23:05

No.1です。

さきほどの、P2017は素因数分解したとき、3の指数が1、を証明します。
今、Ｐｎとは別につぎのような数列Ｑｎを考えます
Ｑ0＝5、Ｑ1＝19、Ｑｎ＝Ｑｎ-1＋Ｑｎ-2（ nは2以上の整数）そしてＲｎ＝3Ｑｎとおけば
Ｒ0＝3Ｑ0＝15、Ｒ1＝3Ｑ1＝57、そしてnが2以上の整数のとき
Ｒｎ＝3Ｑｎ＝3(Ｑｎ-1＋Ｑｎ-2)=3Ｑｎ-1+3Ｑｎ-2 =Rn-1+Rn-2 となるので
数列Ｒｎは問題にあがっている数列Ｐｎに等しくなります、つまりＰｎ＝3Ｑｎです。
さて、
5、19、Ｑ2、Ｑ3、Ｑ4、Ｑ5、Ｑ6、Ｑ7、Ｑ8、Ｑ9、Ｑ10、・・・
2、 1、　0、　1、 1、　2、　0、　2、　2、　1、　 0、　・・・
この上のならびは数列Ｑｎのならび、下の段は上の各Ｑｎを3でわったあまりを書いています。
ここで気をつけてほしいのは、ｎ≧2の場合Ｑｎはその直前の2つＱｎ-1、Ｑｎ-2の値の
和になっているので、Ｑｎを3でわったあまりもＱｎ-1、Ｑｎ-2を3でわったあまりの和に
なるということです。ただし2つのあまりの和が3以上になるときはそれを3でわったあまりで
おきかえます。するとあまりの列の番号ｎ＝2からは
0、　1、 1、　2、　0、　2、　2、　1、という列が循環して出るのがわかるので
Ｑｎが3でわってあまりが0すなわち3の倍数になる番号ｎは
ｎ＝2＋4ｋ（ｋは0以上の整数）のとき、そしてこのときにかぎります。
したがって、番号ｎ＝2017はｎ＝2＋4ｋをみたす整数ｋがないのでＱ2017は3の倍数
でなく、したがってＰ2017＝3×Ｑ2017は素因数分解したときの3の指数は1になります。

このことから主さんのほしい答えがでるとおもいます。

主さんのあげた結論の数式の意味がよくわからなかったので、いまあげた事実
がなにかの指針になるかと思ってコメしました。

この回答へのお礼

丁寧なご説明をいただき本当にありがとうございました。
大変助かりました。
syotaoさんのようにしっかり思考できるよう、基礎を含めたいろいろな問題にこれからも挑戦してみます。

お礼日時：2016/11/17 10:32

No.3 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/11/10 00:59

最大値なんて, 存在するはずがありません.

ちょっと考えれば, 分かるはず.
フィボナッチ数列に興味を持つよりも, もっと基礎的な算数を身に付けるほうがいいでしょう.

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2016/11/09 19:15

あ～、これって合同式の応用かな？

P2017は素因数分解したとき、3の指数が1のような気がするな。
まちがってるかもしれない。ごめん。