住宅ローンの利率は複利？

住宅ローンを払ってますが、総額を見ると、提示された利率の何倍もの利息を払ってます。複利の類いと思いますが、数式で分析しました。あっているか、教えてください。

元金がa0、利率がr(0<r<1)またはR(=r+1)、毎月X円をn回支払いで返済するものとする

毎月の支払いは公式？から
X=a0*r*(1+r)^n/((1+r)^n-1)

R=r+1に置き換える

X=a0*(R-1)*R^n/(R^n-1)

総支払額(n*X)は
n*a0*(R-1)*R^n/(R^n-1)

総利息は総支払額-元金なので
n*a0*(R-1)*R^n/(R^n-1)-a0
=a0*{n*(R-1)*R^n/(R^n-1)-1}
=a0*[{n*R^n-(R^n-1)/(R-1)}/{R^n-1/(R-1)}]
=a0/{(R^n-1)/(R-1)} * {n*R^n-{(R^n-1)/(R-1)}

になる。

ここで式を
a0/{(R^n-1)/(R-1)}
と
{n*R^n-{(R^n-1)/(R-1)}
に分けて考える。

a0/{(R^n-1)/(R-1)} ...①
は頭金を等比数列の和(R^n-1)/(R-1)で割ったのもの

n*R^n-{(R^n-1)/(R-1)} ...②
は支払い回数に複利を掛けたものから等比数列の和を引いたもの

ローンが複利な面をもっているのは②。

全体的には厳密には複利ではない。

①も②も等比数列の和が割ったり、引いたりしている図式。

ちなみに{(R^n-1)/(R-1)}は初項1、公比R、項数nの等比数列の和。

具体的数字を入れてみる。
頭金 1000万円(=a0、利率は 1.62%(r=0.0162/12=0.00135、R=1.00135)、支払い回数は240(=n、20年)

①は
10,000,000/{(1-1.0035^240)/(1-1.00135)}
=35,308

②は
240*1.00135^240-(1.00135^240-1)/(1.00135-1)
=48.544

①×②=
=1,714,016

頭金と支払い回数が多いと支払う利息が増えます。特に支払い回数は複利な増加要因なので注意、といったところが、数式からも確認できます。
なお、減少要因として等比数列の和があり、複雑な構造で、単純に複利とは言えません。

あってますかね。

(本当に複雑ですね。誰が考えたんでしょう)

質問者からの補足コメント

• 

  今は、利息の総額の式が
  
  a0*[n*R^n/{(R^n-1)/(R-1)}-1]
  
  というのがわかりやすいと思ってます。
  
  この式が正しければ、
  累乗を等比数列の和で割っているという構図です。利率に元金は関係ありませんでした。支払い回数nと利率Rが全体の利率のポイントになります。ローンの利率と単利、複利の利率は別物なので、単純比較はできません。繰上げ返済より、資産運用の方が得策の可能性がありそうです。(あくまで間違ってなければ、、、ですが)

    補足日時：2016/11/26 22:22

No.5 回答者： fxq11011 回答日時： 2016/11/27 09:31

貯蓄が優先は論を待ちません、ただし支払いに限定して考えた場合。

＞資産運用の方が得策
これも、可能なら当然かと思います、・・れば、たら、つかなければ。
現実のごく普通の人は、自分の意志で貯めるのと、借金？に追われて払う（違った意味ですが貯める）では、不利kさえって見た時は、追われてのほうが確実です。
工場を立ててものを作り、売って利益を得るとき、建設資金をためてからより、利子払ってでも作って売れば利益から利子を払い、かつ若干でも利益が残れば、どうでしょう。
新築での生活、金銭で評価しにくいので説明？はしにくいですね。

この回答へのお礼

再度のご回答、ありがとうございます。
向き不向き、好き嫌いはあると思いますが、まず、数式、数字でどうなのか、理解したいです。
また、今度は人にアドバイスをする側になるかもしれないので、純粋に数式で理解しておきたいです。
こんなに巧妙に作られた仕組みはないのではないかという気になってきました。

お礼日時：2016/11/27 11:16

No.4 回答者： m-jiro 回答日時： 2016/11/26 22:37

#1です。

>　2000万円を3%の複利で35年で借りると、1.0025^420=2.85倍の5707万円になります。
これは途中返済がない場合ではないですか？　すなわち2000万を月利0.25%で借り、420ヵ月(35年)経過後に一括して返済する場合ではないですか？
通常の住宅ローンは借りた翌月から少しずつ返すのでその分元金が減り、返済総額も減るのです。

http://keisan.casio.jp/exec/system/1256183644　(ご提示のサイトです)
このサイトの計算結果で右端の借入残高の額が少しずつ減っていることに注意してください。
この残高に金利が掛算されて翌月の残高が計算されます。
すなわち　借入残高(前月) × 月金利 － 月支払額 ＝ 借入残高(今月)　　の計算を毎月やっているわけです。
ボーナス併用の場合は半年ごとに月支払額が増えます(ボーナス額が加算されて返済される)。

この回答へのお礼

ご回答、ありがとうございます。
本当の意味での複利のローン(借金)は最終的な利率が高くなるので、闇金融か、あっても、短期だと思ってます。
元々、元利均等返済は、当月をi月とすると
借入残高(前月 i-1)a i-1*月金利 r+借入残高(前月)a i-1-月支払額 x=借入残高(今月) a i
で表され、月支払額を一定 Xにしたところからスタートして、
X=a0*r*(1+r)^n/{(1+r)^n-1)
が導き出されます。
なので、仰っていることは理解しているつもりです。

お礼日時：2016/11/26 23:50

No.3 回答者： takuro2000 回答日時： 2016/11/26 20:26

詳細は読んでいませんが、他の方への返信を読む限り、月々の返済により元本が減ることが計算に入っていません。

予想が実際よりも高すぎるのは、そのせいでしょう。

元利均等や元金均等、繰り上げも期間短縮、返済額軽減等いろいろあります。
銀行のサイトなどに図解されていたりしますから、まずそれを読むとイメージしやすいですよ

この回答へのお礼

ご回答、ありがとうございます。
サイトは色々見たのですが、ボヤッとしてます。
ローンは経験とかではないと思うので、数式や数字で理解したいです。数字はシミュレーションやExcelでできますが、何でそうなるかは、数式になると思ってます。

お礼日時：2016/11/26 21:56

No.2 回答者： fxq11011 回答日時： 2016/11/26 18:51

定額返済（ボーナス月別枠）。

額にもよりますが、最初の間は利息で毛で元本は減らないともよく聞きます。
とりあえず、最初は利息分にも満たないと、元本増えますね、ボーナス月でやっと帳消し、わずかに元本減少なんてことがあれば・・・・・。
ボーナス月で元本減少、それまでは利息の一部が元本に組み入れ、なんてことはないのかな？。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
毎回の支払いが終わっても、次の支払いの為の元金に利息が入っているのは、わかってます。そして、元金均等返済は、先に利息を払い、元金の支払いは後回しになるのは仰る通りです。
http://www.loan.tank.jp/19.html
私の式でいうと元金の中身は毎月の支払い額に含まれてます。
X=(a0*r*(1+r)^n)/{(1+r)^n-1}
↑この式は調べたらよく見るのですが、利息の総額の式が、金融界の秘密なのか、どこにもない(本当に見ません)ので、数式を解いた次第です。まして、数式をわかりやすく変形させて、ここがポイント(支払い回数、利率など)なんて解説は皆無です。
最終的には、よく言われることの根拠、ローンで苦労しない為のツボ、支払いが先か貯蓄を優先かなどをはっきりさせたいのです。

お礼日時：2016/11/26 21:44

No.1 回答者： m-jiro 回答日時： 2016/11/26 17:29

複利です。

契約書に「年利3%」とあると「月利0.25%の複利」になります。( 3%÷12ヵ月＝0.25%／月 )
支払いの総合計はビックリするほどの額になります。

貴殿の計算は細部まで見ていませんがおおむね合っていると思います。
小生も我が家のローン計算をしたことがありますが理論値と合いました。小生建てたのはバブルの頃。金利は3%ぐらいだったかな？　借り換えをしても総額で2倍ぐらい返したように思います。
余分に返せば元金が減るので利子が減るはずですが、銀行(借り先)によっては期間が短くなるだけで支払総合計は変わらないという所もあるので要注意。
とどのつまりは借り換え(低利のローンへの組み直し)ですが、いったん現在のローンを完済せねばなりません。
ローンの残金が1000万あり、新規ローンでは700万しか貸してもらえないとなると不足の300万は自分で都合しなくてはなりません。ローンの残額より家の老化(減価償却)が速いのでこのようになります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
ご認識は、複利ということですが、やはり疑問です。
2000万円を3%の複利で35年で借りると、1.0025^420=2.85倍の5707万円になります。が、ローンの総支払額を試算すると1.34倍の3232万円です。
http://keisan.casio.jp/exec/system/1256183644
なので、正確には複利でないと思います。
バブルの頃の金利は知りませんが、2000万円の6%、35年なら総支払額が倍以上の4789万円で、思っていたのと違ったんだと思います。私も少し前まで複利と思ってましたが、計算すると違うので、自分で色々計算して悩んでます。
利息は、減価償却なので先に支払っているということは初めて知りました。

お礼日時：2016/11/26 18:36