線形代数学の表現行列についての問です。

dimV=3として、Vの線形変換fの基底{ a1,a2,a3 }に関する表現行列をA=( 1 0 5 , 2 1 -3 , 3 1 2 )とする時、fの基底{ a1+a2 , a2+a3 , a3+a1 }に関する表現行列を求めるにはどうすればいいのでしょうか。基底が数字で定まっている時と同じ様にP=P^-1APを用いてやるしか無いのですか？答えまでの導き方をご教授ください。ちなみに正答は、( 0 0 0 , 3 -2 -1 , 1 5 6 )です。(表現行列の , は改行です。)

質問者からの補足コメント

• A = ( 1 0 5 , 2 1 -3 , 3 1 2 ),
  P = ( 1 1 0 , 0 1 1 , 1 0 1 ),
  P^-1 = 1/2 ( 1 -1 1 , 1 1 -1 , -1 1 1 )
  で計算したら、答えの表現行列の行がずれて出ました。Pをどのようにとれば良いんでしょうか。

    補足日時：2017/01/31 15:30

No.4 ベストアンサー 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/02/01 00:23

別解は,

行列 A の 9 つの成分がすべて与えられているので, まず, f(a_1), f(a_2), f(a_3) を, それぞれ a_1, a_2, a_3 の線型結合として, 具体的に表します.
そして, f(a_1 + a_2), f(a_2 + a_3), f(a_1 + a_3) を, それぞれ a_1 + a_2, a_2 + a_3, a_1 + a_3 の線型結合として, 具体的に表すことを試みます.
そのためには, 未知数を 9 つ使って, 連立方程式を 3 つ解く作業が必要ですが,
P^-1 を計算する必要がないことを考慮すれば, 最初の解き方と比較して, 計算量はいい勝負だと思います.

この回答へのお礼

別解の解説ありがとうございます。
解き方から別解まで教えて頂き、本当に助かりました。一連のまとめとしてこちらをベストアンサーにさせていただきます。

お礼日時：2017/02/02 17:57

No.3 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/01/31 18:03

{a_1, a_2, a_3} から {a_1 + a_2, a_2 + a_3, a_1 + a_3} への基底の取替え行列は,

貴方が求めた P の転置行列です.
ミスの原因として考えられるのは,
1) 単純に, 転置するのを忘れた
または,
2) 基底には順序があるのに, その順序を変えてしまった
のどちらかだと思います.

なお, この問題には別解があります.
御希望でしたら, 申し出てください.

この回答へのお礼

補足についての回答ありがとうございます。
2)が原因でした。別解について、是非よろしくお願いします。

お礼日時：2017/01/31 23:51

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/01/31 16:37

うん, 基底の変換ってよく混乱するんだよね....

http://dora.bk.tsukuba.ac.jp/~takeuchi/?%E7%B7%9 …

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
非常に分かりやすいサイトでした。今後も参考にしたいと思います。

お礼日時：2017/01/31 23:46

No.1 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/01/29 18:53

基底の取替え行列 P を求める作業は「基底が数字で定まっている時」よりも, この問題のほうがずっと簡単です.

P が求まったら, P^-1AP を計算して終了です.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
Pは質問の補足に書いた取り方では間違っているのでしょうか。

お礼日時：2017/01/31 15:34