No.4ベストアンサー
- 回答日時:
何箇所かのaはa^2の誤りでしょう。
有名な積分なので少し詳しい教科書か参考書に載っています。
まず (1-x^2)^(-1/2)の不定積分は sin^{-1}x(またはArcsin xとも書きます)
したがって 、置換積分によって(a^2-x^2)^(-1/2)の不定積分は
sin^{-1}(x/a) です。
次に(a^2-x^2)^(1/2)を1=(x)'と(a^2-x^2)^(1/2)の積だと思って
部分積分を行うと
x(a^2-x^2)^(1/2)-∫(-x^2)dx/(a^2-x^2)^(1/2)
となります。
第2項の積分を ∫(a^2-x^2)dx/(a^2-x^2)^(1/2)-a^2∫dx/(a^2-x^2)^(1/2)
と書き換えると,求めたい積分とArcsinになるので、移項して
2で割ればよいのです。だから最後のsin^{-1}の係数はa^2となる筈です。
No.2
- 回答日時:
私も成り立たない気がするので、
a>0とし、√a=b とする。
∫(b^2-x^2)^(1/2)dx を計算することにします。
x=b*sint とすると、dx=b*costdt また、t=Arcsin(x/b) ⇒t=Arcsin(x/√a) ここが違うのでは???
左辺=b^2∫{1-(sint)^2}^(1/2)*costdt=a∫{(cos)^2}^(1/2)*costdt
cost>0のとき、{(cos)^2}^(1/2)=cost だから
=a∫(cost)^2dt
=a/2∫(1+cos2t)dt
=a/2(t+(sin2t)/2)
=a/2(Arcsin(x/√a)+sintcost)
=1/2(a*Arcsin(x/√a)+asintcost)
ここで、
cost=(1-(sint)^2)^(1/2)=(1/√a)*(a-x^2)^(1/2)、sint=(x/√a)より、
asintcost=x(a-x^2)^(1/2)
cost<0の場合も同様。
よって、求める不定積分は1/2{x(a-x^2)^(1/2)+a*Arcsin(x/√a)}
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