数学の質問です 原点０から出発して、数直線上を通る点Ｐがある。 点Ｐは、硬貨を投げて表が出ると+２だ

数学の質問です
原点０から出発して、数直線上を通る点Ｐがある。
点Ｐは、硬貨を投げて表が出ると+２だけ移動し、
裏が出ると-１だけ移動する。このとき、
点Ｐが座標３以上の点に初めて到着するまで
硬貨を投げ続ける。
このとき、投げる回数の期待値を求めよ。

これ解ける方いらっしゃいませんか。座標上における移動的思考が苦手なので...

No.2 ベストアンサー 回答者： bilateraria165 回答日時： 2017/05/02 11:52

私自身ちゃんとした答えが出せていないのですが、考え方の方針だけ残します。

すみません。
（誰か頭のいい人が回答出してくれるといいのですが・・・）

座標の移動的思考というのは関係なく、むしろ数学的には無限級数の考え方が必要なのでは、と思います。
例えば、最小の試行は表を2回出したとき+4となります。
一方で裏を100回連続で出したあと表を52回出せば+4となり、「点Ｐが座標３以上の点に『初めて』到着」します。
このときの試行回数は100+52=152回です。
裏を10000回連続で出したあと表を5002回出せば+4となります。
このときの試行回数は15002回です。
15002回のうち、必ず「裏10000回→表5002回」という順番でなければ題意を満たしません。
という具合に「表裏を出す順番」次第でいくらでも試行回数は増えます。

以下は考え方の途中式ですが、N回投げるときに題意を満たす条件は、
①N-1回目まででのPの座標＜+3となる（この確率をP(N)とする）
②N回目は必ず表を出し、Pの座標≧+3となる（この確率は1/2）
となり、求める期待値Eは、
E=Σ{P(N)*(1/2)*N} [N:2〜∞]
という式になるはず。

Nが無限大に近くほどP(N)の確率は下がると見られるので、どこかでは収束すると思います。
あとはP(N)をどう求めるか、なのですが私はそこでつまずきました。。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/05/02 11:14

「苦手」といっても、何か考えたのですよね？　だったら、それを書いた方が「どこが正しく、どこが間違っているのか」をきちんと把握できます。

こんな考え方ではどうでしょうか？

表が出る確率が 1/2、裏が出る確率が 1/2 ですから、N 回の施行で
・表の出る回数の期待値：N/2
・裏の出る回数の期待値：N/2
・進むコマ数の期待値：　+2 * (N/2) + (-1) * N/2 = N - N/2 = N/2

これの「コマ数の期待値」が「3以上」になるのは
　N/2 ≧ 3
よって
　N ≧ 6