対数微分法がよくわからないです。 この問題の解き方教えて下さい！

対数微分法がよくわからないです。
この問題の解き方教えて下さい！

質問者からの補足コメント

• 誰か教えて下さい！

    補足日時：2017/05/20 22:52

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/05/22 11:01

y=x^2・√(x+2) /(x+1) …(1)

=√(x^5+2x^4) /(x+1) …(2)
両辺の自然対数をとる (絶対値をとること)
log I y I =(1/2)log I (x^5+2x^4) I ーlog I x+1 I
両辺を微分して
y' /I y I =(1/2)I x^5+2x^4 I ' /I x^5+2x^4 I ー1/ I x+1 I
x＞0とすると、I y I=y より
=(5x+8)/2・x・(x+2) ー1/(x+1)
=x^2・(3x^2+9x+8)/2・x・(x+2)・(x+1)
∴ y'=(3x^2+9x+8)・x /｛2・(x+1)^2・√(x+2)｝ …Ans

参考に
｛x^2√(x+2)｝'
=2x√(x+2) +x^2・(1/2)・(1/√(x+2))
=｛ 2x√(x+2) ・ 2√(x+2) + x2) ｝/2√(x+2)
=｛ 4x(x+2)+x^2｝ /2√(x+2)
=x(5x+8) /2√(x+2) より
y'=｛ x(5x+8)・(x+1) /2√(x+2) ーx^2√(x+2) ｝/(x+1)^2
=｛ x(5x^2+13x+8) ー x^2√(x+2) ・2√(x+2) ｝/(x+1)^2・2√(x+2)
=｛x(5x^2+13x+8) ー x(x+2)2x ｝ ／（x+1)^2・2√(x+2)
=｛x(5x^2+13x+8) ー x(2x^2+4x) ｝ ／（x+1)^2 ・２√(x+2)
= （３x^2+9x＋8)x /｛２√（x+2)(x+1)^2 ｝

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/05/21 20:36

http://mathtrain.jp/logbibun
にやり方載っています！

絶対値をとる！
対数をとる
微分すると、良い！
与式=√(x^5+2x^4) /(x+1) の微分は、
=｛(5x^4+8x^3)(x+1)ー(x^5+2x^4)・2｝/2(x+1)^2・√(x^5+2x^4)
=x(3x^2+9x+8)/｛2・(x+1)^2・√(x+2)｝
よりNo2のやり方であっています！

y'/IyI=｛2/Ix+1I+2Ix+2Iー1/Ix+1I｝より同じになります！

No.2 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/05/21 00:38

y が負の値をとる場合もあるので、絶対値をつけて

|y|=|x^2√(x+2)/(x+1)|

両辺に自然対数をとって
log|y|=log|x^2√(x+2)/(x+1)|
log|y|=2log|x|+(1/2)log((x+2)-log|x+1|

x で微分して
y'/y=(2/x)+{1/2(x+2)}-{1/(x+1)}
y'=y[{4(x+2)(x+1)+x(x+1)-2x(x+2)}/2x(x+2)(x+1)]
={x^2√(x+2)/(x+1)}･{(3x^2+9x+8)/2x(x+2)(x+1)}
=[x(3x^2+9x+8)/2√(x+2)(x+1)^2

No.1 回答者： springside 回答日時： 2017/05/20 23:28

両辺の対数を取ると、

log(y)=2log(x)+(1/2)log(x+2)-log(x+1)

両辺をxで微分すると、
左辺は、(1/y)(dy/dx)
右辺は、(2/x)+{1/2(x+2)}-{1/(x+1)}
=(3x+8)/2x(x+2)

よって、dy/dx = (3x+8)/2x(x+2) * x^2√(x+2)/(x+1)
=x^2(3x+8)√(x+2) / 2x(x+1)(x+2)