異時点間取引 ミクロ経済学

下記の問題について答案を作成したのですが、自信がなく解答がないため添削をお願いしたいです。

第1期と第2期の2期間生存する個人の消費をc1,c2とし、生涯の効用関数は以下の通り与えられているものとする。ただし、δは割引率のパラメータとする。
U(c1,c2)=logc1+1/1+δ logc2 　(分かりにくいのですが、1/1+δにlogc2がかけられています)
次に第1期と第2期の消費の予算制約式が以下の通りに与えられているものとする。
第1期：c1+s1=y1
第2期：c2=(1+r)s1+y2
ただし、s1は第1期の貯蓄、rは貯蓄から得られる利子率、y1とy2はそれぞれ第1期と第2期の所得とする。経済環境に不確実性まったく存在しないという仮定の下、この個人は制約条件付き効用最大化問題を解くものとする。
(1)この個人にとって、第1期の消費と第2期の消費の最適な比率(つまりc1*/c2*)はいくらか。数式で答えなさい。
(2)第1期の最適消費c1*をδ,r,y1,y2の関数として表せ。

(2)の答案は画像の解像度の関係で載せられなかったのですが、
c1*=1+δ/2+δ y1 + 1+δ/1+r y2 (y1,y2はどちらも分子にかけられています)
と求められたのでこちらも添削をお願いしたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2017/11/06 00:01

U(c1,c2)=logc1+1/1+δ logc2 　(分かりにくいのですが、1/1+δにlogc2がかけられています)

わかりにくいとわかっているなら、どうして
U(c1,c2) = logc1 + [1/(1+δ)]logc2
とわかるように書かないのでしょうか？

(1)予算制約はあなたの書き方でもよいが、さらに変形して

c1 + c2/(1+r) = y1 + y2/(1+r)

とすると、左辺は消費の現在価値合計であり、右辺は所得の現在価値合計である。これより、現在財の価格＝１であり、将来財の価格＝1/(1+r)であることがわかる。よって、現在財の将来財に対する相対価格＝1/[1/(1+r)] = 1+rとなる。一方、
限界代替率MRS＝U1/U2=(1/c1)/[(1/(1+δ)(1/c2]=(c2/c1)(1+δ)
である。効用最大化の1階の条件はMRS=相対価格で与えられるから

(c2/c1)(1+δ) = 1+r

よって

c2/c1 = (1+r)/(1+δ）

となり、あなたの結果とは一致する。

(2)上の結果より

c2 = (1+r)c1/(1+δ)

これを上の予算制約式に代入すると最適(第1期）消費は

c1[1+ 1/(1+δ)] = y1 + y2/(1+r)

c1 = [(1+δ)/(2+δ)][y1 + y2/(1+r)]

となるので、あなたの結果と一致するようです。

この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございます。予算制約式の変形は知らなかったので勉強になりました。
わかりにくかった数式は、パソコンで数式を入力した経験がほとんどないため見やすくする方法が思いつきませんでした。申し訳ありません。

お礼日時：2017/11/06 00:44