効用関数・需要関数

u=√(x^a)(y^b)
a,bは正の定数

需要関数を求めてください。

質問者からの補足コメント

• 結果的に需要関数が同じになるということは理解できましたが、なぜあえて効用関数が見た目として変化させているのでしょうか？

    補足日時：2017/06/21 15:31

No.1 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2017/06/21 04:56

あなたが以前に解いた

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9800077.html

と答えは同じになります。効用の序数的性質というのを聞いたことがありますか？効用関数は消費のある組と別の組の選好の順序を示しているだけなので、効用関数を単調変換をしてもその（順序付けをするという）性質は変わらない。したがって、
u =√(x^a)(y^b)
を最大化するのも、両辺を2乗した
v = u^2 = (x^a)(y^2)
を最大化するのも、そして両辺の対数ととった
w = log v = alogx + blogx
を最大化するのも選好の順序は変わらないからだ。ｗを最大化する問題は以前に解いた。ここでは

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9800077.html

の別解を示しておきましょう。最大化の一階の条件は

MRS = PX/PY　　　　　　　　　(*)

と表わされることは学んだでしょう。なお、MRS=(∂w/∂x)/(∂w/∂x)＝限界代替率で、ここではMRS=(a/1/x)/(b/y) =(ay)/(bx)
より、(*)は
PXbx = PYay ⇒　y = (PX/PY)(b/a)x
となるが、これを予算制約
PXｘ＋PYy = I
へ代入し、ｘについて解けばよい。確かめてください。

No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2017/06/21 16:02

>なぜあえて効用関数が見た目として変化させているのでしょうか？

問題提供者がですか？それはそういうことをちゃんと理解しているかテストするためでしょう！？その証拠にはあなたは一瞬この問題を見てたじろいだのでは（笑）。

この回答へのお礼

なるほどです笑
わかりやすい解説ありがとうございます。

お礼日時：2017/06/21 16:15

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2017/06/22 06:05

もちろん、そのまま解いても同じ結論になります。

予算制約のもとでの最大化の一階の条件は
MRS＝PX/PY (*)
なので、MRS=限界代替率が効用関数u=√(x^a)(y^b)のもとでも、v=(x^a)(y^b)のもとでも、w=alogx + blogyのもとでも同じになれば、答えは同じになることがわかるでしょう。調べてみましょう。
∂u/∂x = (1/2)[(x^a)(y^b)]^(-1/2)・a(x^(a-1))(y^b))
∂u/∂y = (1/2)[(x^a)(y^b)]^(-1/2)・b(y^(b-1))(x^b))
よって
(*)の左辺のMRSは
MRS =∂u/∂x /∂u/∂ｙ=a(x^(a-1))(y^b))/[b(y^(b-1))(x^b)]=(a/b)(y/x)=ay/bx
となり、回答No.1で示した、効用関数ｗ＝alogx+blogyのもとでのMRSと同じになることがわかるでしょう。効用関数ｖ＝(x^a)(y^b)のときにMRSがこの値になることを確かめてください。