フーリエ級数展開

四角3番の問1-問3まで解いていただきたいです。

No.1 回答者： diff3356 回答日時： 2018/01/30 19:43

f(x)=a[0]/2+Σ[n=1~∞]{a[n]*cos(nx)+b[n]*sin(nx}

と展開するとします。
f(x):even ですから、b[n]=0.
a[0]=(2/pi)*∫[0~pi]xdx=pi,
a[n]=(2/pi)*∫[0~pi]x*cos(nx)dx=0 (n:even), -4/(pi*n^2) (n:odd).
ゆえに、
f(x)~(pi/2)-(4/pi)*Σ[n=1~∞]cos{(2n-1)x}/(2n-1)^2.
2) Parseval の等式
(1/pi)*∫[0~2pi]{f(x)}^2dx=a[0]^2/2+Σ[n=1~∞]{a[n]^2+b[n]^2}. より、

(1/pi)*∫[0~2pi]{f(x)}^2dx=(1/pi)*{∫[0~pi]x^2dx+∫[pi~2pi](2pi-x)^2dx=(2/3)pi^2,
a[0]^2/2+Σ[n=1~∞]{a[n]^2+b[n]^2}=pi^2+(16/pi^2)*Σ[n=1~∞]1/(2n-1)^4.
これから得られます。ご自身で計算してください。
※とりあえずここまで。タイプミスがあればなおしてください。