(1＋x＋x2乗)7乗の展開式における、x3乗の項の係数をCつかて求める時、なぜ式は②の式ではなく①

(1＋x＋x2乗)7乗の展開式における、x3乗の項の係数をCつかて求める時、なぜ式は②の式ではなく①の式となるのでしょうか？

No.7 回答者： konjii 回答日時： 2021/03/03 09:34

7!/5!をCつかて表すと、7!/5!=7!/(5!*2!)*2!/(1!*1!)=₇C₅＊₂C₁

となって、②が正しい。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/03/02 21:54

No.3が正解。

彼は①も②も違うと言っているようだが、
No.3の答えは結果的に②と一致している。
これと係数の異なる①は、もちろん間違い。

二項定理を拡張した「多項定理」は、
けっこう有名だし、役に立つ場面も多いから、
この機会に勉強しておいたらどうか。
google すれば、解説はたくさん見つかる。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2021/03/02 17:08

No.2へのコメントについて。

> 答えに①の式が書いてあったので

　単に、その「答え」は間違っている、ということです。ご自分で②を導いた上でご質問なさってるんですよね？だったら自信持って。

　ドロ臭く確かめたくても、7乗を手計算でやるのは流石にしんどいか。けれど、No.1の仰る通り3〜4乗ぐらいで確かめてみれば良いでしょう。

　また、もし微分法を知っているのなら、(1+x+x^2)^7 の3階導関数を計算してからxに0を代入して6で割る、という手もある。というのは
　　f(x) = (1+x+x^2)^7 = Σ{k=0〜n} (a[k](x^k))
とおくと、
　　f'''(x) = ( Σ{k=0〜n} (a[k](x^k)) )'''
　　　= ( Σ{k=1〜n} (k a[k](x^(k-1))) )''
　　　= ( Σ{k=2〜n} (k(k-1) a[k](x^(k-2))) )'
　　　= Σ{k=3〜n} (k(k-1)(k-2) a[k](x^(k-3)))
なので、x^3の係数a[3]は
　　f'''(0) = 3(3-1)(3-2) a[3]
ま、これもめんどくさいけど。

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2021/03/02 16:32

(1＋x＋x²)⁷＝｛(1+x)+x²｝⁷でｘ³の項は

₇C₀(1+x)⁷＊(x²)⁰に１つ
(1+x)⁷でｘ³の項は
₇C₃１⁴＊ｘ³＊₇C₀＝₇C₃ｘ³
₇C₁(1+x)⁶＊(x²)¹に１つ
(1+x)⁶でｘの項は
₆C₁１⁵＊ｘ＊ｘ²＝₇C₁＊₆C₁ｘ³＝₇C₅＊₂C₁ｘ³
よって、₇C₅＊₂C₁ｘ³＋₇C₃ｘ³
ｘ³の係数は
₇C₅＊₂C₁＋₇C₃　です。
貴方が正しい。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/03/02 16:29

(a+b+c)ⁿ=Σn!/(p!q!r!) a^p b^q c^r , p+q+r=n

です。

すると今回は
a^p b^q c^r=x^(q+2r)
となり、
p+q+r=7 , q+2r=3
となる。これを満たすのは
(q,r)=(1,1) , (q,r)=(3,0) だけである。すなわち
(p,q,r)=(5,1,1) , (p,q,r)=(4,3,0) となり

x^(q+2r)=x³の係数は

7!/(5!1!1!)+7!/(4!3!0!)=7!/5!+7!/(4!3!)
となり、上のいずれも間違い。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2021/03/02 16:17

②の式が正しいけど？

この回答へのお礼

答えに①の式が書いてあったので②の式が正しいことはないと思います…

お礼日時：2021/03/02 16:19

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/03/02 16:06

実際に3乗、4乗を手で展開すれば、規則・理由は解る。

先ずは手を動かす。