解き方がわかりません。よろしくお願いします。 全ての正の数xに対しe^x>=ax^3が成り立つ定数a

解き方がわかりません。よろしくお願いします。

全ての正の数xに対しe^x>=ax^3が成り立つ定数aの値の範囲を求めなさい。

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2018/02/28 12:10

a=e^x/x^3＝ｘ^(-3)e^x

のグラフを書いてみるとわかるけど、、、
まあ、e^x/xに似たグラフになるよね。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/5687291.html
｛a: a∈Ｒ, a<0 or a>??｝

？？の値はaの微分＝0の時のｘの値を代入すればよいです。
（上記のグラフからは、x^(-3) であっても、x=1 (a≧e）になると思います）

No.2 回答者： cruelman 回答日時： 2018/02/28 12:12

両辺にx^(-3)を掛けて左辺をf(x)とする。

導関数を求めてそれを使って極小値を求めグラフの概形を書けば答えは見えてくるのではないか。

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/03/04 14:51

全ての正の数xという前提があるので、両辺をx^3で割ると以下の不等式が成立する。

e^x/x^3≧a

f(x)=e^x/x^3とし、f(x)を微分すると、

f'(x)=e^x/x^3-3*e^x/x^4=(1-3/x)*e^x/x^3

f'(x)の極値は、

(1-3/x)*e^x/x^3=0

全ての正の数xという前提があるので、e^x/x^3部は0にはならない。よって、
1-3/x=0
1=3/x
x=3

ここでx=2,3,4の時のf(x)を算出すると、
f(2)=e^2/8=0.92…
f(3)=e^3/27=0.74…
f(4)=e^4/64=0.85…

よりf'(x)の極値x=3におけるf(3)は極小値であることが分かる。

上記から求めるaの範囲は、

a≦e^3/27