ピタゴラス数にからんだ整数問題

以下の問題を一応証明したのですが、論述に自信がありません。入試の採点でつっこまれそうなか所を指摘して欲しいです。（京大志望です）

自然数 a，b，c について，等式 a^2+b^2=c^2 が成り立ち，かつ a，b は互いに素とする。このとき，次のことを証明せよ。
(1) a が奇数ならば，b は偶数であり，したがって c は奇数である。
(2) a が奇数のとき，a+c=2d^2 となる自然数 d が存在する。

(1)
　a,bをともに奇数とすると
　i,jを任意の自然数として
　　a=2i-1
　　b=2j-1
とおける。
　すると、
　　a^2+b^2=(2i-1)^2+(2j-1)^2
　　　　　 =4(i^2+j^2)+4(i-j)+2=c^2
　よってcが奇数であるときc^2も奇数となるからcは偶数。
　よって
　　c=2k
とおく。
　すると、
　　0=a^2+b^2-c^2
　　 =4(i^2+j^2-k^2)+4(i-j)+2≡2(mod.4)
となって不合理。
　よってa,bがともに奇数とはなり得ない。
　よってaが奇数ならばbは偶数以外ありえない。

(2)
　m,n（m＜n）を自然数として
　　a=n^2-m^2
　　c=n^2+m^2
とおく。
　（a,cはともに奇数よりn,mのうち一方は偶数で一方は奇数）
　以下題意をみたす任意のa,cがこのようにあらわせることを示す。
　上の式をn^2,m^2について解くと
　　n^2=(c+a)/2
　　m^2=(c-a)/2
となる。
　よって
　　n^2m^2=(c^2-a^2)/4=b^2/4
　よって
　　b=2mn
となる。
　これはbが偶数であるという(1)に矛盾しない。
　よって上のようにa,b,cを表現することに不合理はない。（ただしm,nは互いに素とする。でないとa,b,cが互いに素であるという仮定に反する）
　またこれより題意をみたすとき
　　a+c=2n^2
　よって題意は示された。

(2)のa,cがm,nであのように表現できるという証明で、とりあえず矛盾はなさそうだからＯＫと言うような論法になってしまっている気がするのですが…
どうでしょうか？

No.14 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2004/10/18 18:18

私も、因数は１を含まない、というイメージがあったのですが、（素因数分解といったら、１を書きませんし）その辺りに自信がなかったので、ネット上で検索してみたんです。

そうしたら、
http://ja.wikipedia.org/wiki/約数
が見つかって、これを読んだ感じでは、因数は１も含む、という解釈しかできなかった（どう見ても、約数＝因数という書き方ですよね？）ので、そうだったのか～、と思ってあのように書きました。一般に、因数といったら、１を含まないのなら、あのままでかまいません。

＞p,qが３以上の素数では割り切れない
基本は背理法です。

pが３以上の素数rで割り切れたとします。
pqは平方数で、pは１以外の平方数では割り切れないので、qがrで割り切れる事になります。
すると、c-a=pm^2,c+a=qn^2はともにrの倍数となる事から、2a=(c+a)-(c-a)はrの倍数になります。
rは3以上の素数であったから、aがrの倍数となります。(←"３以上の素数"のように２を除外したのは、この部分で2aがrの倍数としか言えないためです。）
さらに、※b^2=(c-a)(c+a)はr^2の倍数であるから、bはrの倍数。
よって、rはa,bの公約数。rは３以上の素数であったから、a,bが互いに素であることに矛盾。
よって、pは３以上の素数で割り切れない。qについても同様。

という感じです。
なお、※の部分は、a,cが互いに素である事を既知とするならば、2c=(c+a)+(c-a)がrの倍数よりcがrの倍数、というのに置き換えても問題ありません。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/約数

この回答へのお礼

１も因数と言えるんですね。はじめて知りました。

長々と回答していただいて本当にありがとうございました。

お礼日時：2004/10/18 22:33

No.15 回答者： nakaizu 回答日時： 2004/10/18 19:41

多少まどろっこしいですが、No.12のお礼の回答で大丈夫です。

因子とか因数という言葉は習慣的に使っていますが、
教科書等ではっきり定義してある言葉ではないので、
使い方がけっこう曖昧です。
「１以外の約数」と言った方が誤解を生まない分だけ良いでしょう。

この回答へのお礼

＞「１以外の約数」と言った方が誤解を生まない分だけ良いでしょう。

そうですね。
何度も回答していただき、ありがとうございました。

お礼日時：2004/10/18 22:34

No.13 回答者： eatern27 回答日時： 2004/10/16 23:41

#8+#12です。

#12のお礼についてです。

自信はないのですが、１(＝平方数)というのは、任意の自然数ｎの因数ではないのでしょうか？そうだとすれば、
＞　ただしp,qが平方数を因数に持つとすると、m^2,n^2が最大の平方数という仮定に反するからp,qは平方数を因数に持つことはない。
の部分は「ただしp,qが1以外の平方数を因数に持つとすると、…」などのようにするべきでしょう。
これ以外は、問題ないと思います。


ちなみに、#8への補足で間違っていたのは、m=r*sと表せたとした場合に、例えば、「a+c=r*奇数^2、c-a=r*s^2*奇数^2」みたいなパターンは
＞　　c-a=mp^2,c+a=mq^2
とは表せませんよね。


参考程度ですが、いろんな解き方を知っておくことも、いい勉強になりますから、私なりの解き方(の方針)を書いておきますね。
・p,qが1以外の平方数で割り切れない事を示す
・pqが平方数である事を書く。(ここまでは#12の補足と同じです)
・p,qが3以上の素数で割り切れないことを示す。
・p,qは1または2であることを示す。
・p=qである事を示す
・p=q=1でない事を示す。
∴p=q=2
d=nとすれば、a+c=2d^2

この回答への補足

＞自信はないのですが、１(＝平方数)というのは、任意の自然数ｎの因数ではないのでしょうか？

因数というのは１以外の約数のことだと理解していたのですが…

それと参考のところで、p,qが３以上の素数では割り切れないことはどうやって示すんでしょうか？

補足日時：2004/10/17 20:46

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2004/10/17 20:46

No.12 回答者： eatern27 回答日時： 2004/10/16 00:30

#8です。

#8への補足を見たのですが、

そんな事よりも、重大な欠陥を発見しました(もっと早く気がつくべきでした)。#6さんへの補足の最後の部分です。

＞　　a=i(q^2-p^2)
＞　　c=i(q^2+p^2)
p,qは奇数ですから、a,cは偶数って事になります。

でも、a,cは奇数でしたよね？？

さて、どこで、証明があらぬ方向へ進んだのでしょうか？
ヒントは#8への補足の中に間違いがある、という事だけにします。
"誤った証明"のどの部分が間違いであるか、というのを探すのも、たまにはいいと思います。こういう種類の問題を扱った問題集は少ないですしね。(少なくとも私は、大学受験の時には１冊しか見かけなかった気がします)
是非、何処で間違っているか、自分で探してみてください。間違いが見つからなければ、補足してください。

この回答への補足

mが平方数になっているんですね？

補足日時：2004/10/16 21:08

この回答へのお礼

　c-a,c+aの因数（または１）のうち最大の平方数をそれぞれm^2,n^2とすると、
　　c-a=pm^2
　　c+a=qn^2
とおける。
　ただしp,qが平方数を因数に持つとすると、m^2,n^2が最大の平方数という仮定に反するからp,qは平方数を因数に持つことはない。
　またこのとき
　　b^2=pq(mn)^2
となる。
　b^2,(mn)^2はともに平方数よりpqも平方数。
　よってpq=k^2とおける。
　ところでp,qを素因数分解したときそれぞれ
　　p=p1p2…pi
　　q=q1q2…qj
となるとする。
　ただしp,qは平方数を因数に持たないからp1,p2…piはすべて異なるし、q1,q2…qjもすべて異なる。
　よってpq=k^2より
　　k^2=p1p2…piq1q2…qj
となる。
　もしq1,q2,…,qjの中にp1に等しいものがないとすると、p2,p3,…,piのなかにはp1と等しいものは存在しないからk^2が平方数であることに反する。
　つまりp1と等しい数がq1,q2,…,qjの中に存在する。
　またq1,q2…qjはすべて異なるからp1と等しい数が２つ以上存在することもありえない。
　よってq1,q2…qjの中にはp1と等しい数がただ１つ存在する。
　同様に考えればq1,q2…qjの中にはp2と等しいもの、p3と等しいもの、…piと等しいものがただ１つずつ存在する。
　また同様に考えてp1,p2…piの中にはq1,q2,…,qjと等しいものがただ１つずつ存在する。
　よってp1,p2…piの組み合わせを並べ換えるとq1,q2,…,qjの組み合わせとなる。
　よって
　　p=p1p2…pi=q1q2…qj=q
となる。
　よって
　　c-a=pm^2
　　c+a=pn^2
とおける。
　あとは今まで同様の方針で…

お礼日時：2004/10/16 21:43

No.11 回答者： nakaizu 回答日時： 2004/10/14 17:32

かなりごまかしていますね。

「そこでb=mpqとおける。（m,p,qは自然数。mは偶数。p,qは奇数）
　c,aはともに奇数よりc-aとc+aはともに偶数。
　よってc-aとc+aは等しくないから
　　c-a=mp^2
　　c+a=mq^2
という組み合わせ以外ありえない。」
の部分は間違っています。
m,p,qは一意に決まらないのでc-aなどが何通りもあることになってしまいます。
たとえばb=30のときにはm=2,p=3,q=5かもしれないし、
m=2,p=15,q=1かもしれないし、それ以外かもしれません。
本質的には理解されていると感じられますので、あとは書き方だろうと思います。
No８の方のアドバイスを参考にして、論理的な証明にしていってください。

この回答へのお礼

Ｎｏ８の方の補足のところに解答を書いておきました。
これでどうでしょう？

お礼日時：2004/10/15 23:25

No.10 回答者： tiezo- 回答日時： 2004/10/14 15:40

（２）の証明が少し強引な気がします

aとbが互いに素なことより導くほうが良いと思います
No8の方と同じですが
a,cは整数よりa+c=x ,c-a=y ただしx*y=b^2とすると
x=2*n^2の形になることが示せます
互いに素がポイントだと思います
あまり自信はありませんが

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2004/10/15 23:24

No.9 回答者： Rossana 回答日時： 2004/10/14 03:14

ANo.2はよく考えるとおかしいですね．例えば，i=2, j=4で互いに素でなくても

a=3, b=7でa, bは互いに素になっています．
『
　　a=2i-1
　　b=2j-1
とおける．（ただし，i，jはa, bが互いに素となるように選ばれる自然数．）
』
に訂正お願いします．

No.8 回答者： eatern27 回答日時： 2004/10/14 01:17

大学受験の時、普通に合同式を使っていた人間です。

なので、個人的には、合同式を使うことに問題ないと思うのですが...
特に、京大の理系レベルなら、多数の受験生が合同式程度の知識はあるでしょうし。(でも、nablaさんが理系と思ってよいのかどうか…。文系の方ではどういう扱いなのか、分かりません。)


さて、#6さんへの補足についてです。
＞　aとcが互いに素でない。
の証明の部分は、答案の流れとしては、首をかしげる部分がありますが、証明としては問題ないと思います。


＞そこでb=mpqとおける。
以降の部分はイマイチだと思います。

例えば、
＞という組み合わせ以外ありえない。
とありますが、「a-c,a+cが等しくなく、共に偶数」という根拠だけでa-c=mp,a+c=mpq^2という組み合わせなどが排除できるのでしょうか？

ご質問に書いてある(2)の解き方、#6さんへの補足の後半部分を見て思ったことですが、
(a,b,c)=(n^2-m^2,2mn,n^2+m^2)と書ける、という事にとらわれすぎているいるように思います。なので,この問題を解く際にはこの事は忘れた方がいいと思います。

参考になるかは分かりませんが、私なら、
a+c,c-aを割り切る最大の平方数(最低限1^2で割り切れるので、このような"最大"の平方数は存在します)をM^2,N^2としたら、自然数α、βを使って
a+c=αM^2,c-a=βN^2
と表せますので、ここからα＝２である事を証明します。(ついでに、β＝2である事も証明できますね)

この回答への補足

＞例えば、
＞＞という組み合わせ以外ありえない。
＞とありますが、「a-c,a+cが等しくなく、共に偶数」＞という根拠だけでa-c=mp,a+c=mpq^2という組み合わ＞せなどが排除できるのでしょうか？

　ここはもう少しちゃんと書くべきだったかもしれません。

　　(c-a)(c+a)=(mpq)^2
　より組み合わせとしては
　　c-a=mp^2,c+a=mq^2
　　c-a=mp,c+a=mpq^2
　　c-a=m,c+a=mp^2q^2
が考えられる。
　ただしはじめの場合はc+a＞c-aよりq＞p
　ところが２番目の場合においてmp=m'p'=1とおくと、m'は偶数であり、p'は奇数であるから結局１番目の場合と同じ。
　また３番目の場合でもp'=1,pq=q'とおけばp'、q'はともに奇数となり、やはりはじめの場合と同じ。
　よって結局
　　c-a=mp^2,c+a=mq^2
の場合のみを考えればいい。

　こんなもんでいいでしょうか

補足日時：2004/10/15 23:12

No.7 回答者： ryn 回答日時： 2004/10/14 01:06

補足に対する回答ですが…

> やっぱ合同式は使わない方が無難でしょうか？
> 京大は何でもありだと聞いているのですが…
私は入試本番では行列や一次変換(今はないのかな？)で
普通に線型代数の知識を使った解答を書いてました．

ただし，受験前に独学で大学範囲の勉強をしていると
どこまでを自明とするかの感覚がずれているかもしれないので
その辺はご注意を．

個人的には論理に矛盾がないなら
減点対象にはならないと思いますが，
保障はありません．

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2004/10/15 23:22

No.6 回答者： nakaizu 回答日時： 2004/10/13 09:41

(1)については、細かいところを除けば証明できています。

細かいところとは、No３の方がご指摘の計算ミスと、i,jはa,bから決まるので「任意」ではないという点です。
合同式を使うのが減点になるかは採点者次第ですが、
証明が正しいかどうかとは別問題です。
証明としては正しいので、へそ曲がりの人以外は減点しないと思います。（責任はもてません）

（２）は証明になっていません。
よく勉強なさっているのでこのような回答になると思いますが、証明は結論から始めてはいけません。

a+c=2d^2,c-a=2e^2となる自然数d,eが存在するので、
a=d^2-e^2,c=d^2+e^2
となる。と証明は進んでいくはずなので、逆方向なのです。

1=-1の両辺を二乗すると
1=1
となります。つまり、矛盾しない結論が出てきても、元が間違っていることはよくあることなのです。

（２）については最初から考え直したほうがよいと思います。

この回答への補足

　aとcが互いに素でない。
　すなわちkを１でない自然数として
　　a=kx
　　c=ky
とかけるとする。（ただしxとyは互いに素）
　このとき
　　b^2=k^2(y^2-x^2)
となり、bはkの倍数。
　これはaとbが互いに素であるという仮定に反する。
　よってaとcは互いに素である。
　また与式は
　(c-a)(c+a)=b^2
と変形できる
　ところでaは奇数であるためbは偶数
　そこでb=mpqとおける。（m,p,qは自然数。mは偶数。p,qは奇数）
　c,aはともに奇数よりc-aとc+aはともに偶数。
　よってc-aとc+aは等しくないから
　　c-a=mp^2
　　c+a=mq^2
という組み合わせ以外ありえない。
　ここでm=2iとおくと
　　a=i(q^2-p^2)
　　c=i(q^2+p^2)
となる。
　aとcは互いに素であるという条件からi=1
　よってa+c=2q^2となり題意は示された。

補足日時：2004/10/13 21:16

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
やっぱり結論からはじめるのはダメなんですね。
補足のところにもう一度(2)の証明を書いたので見てもらえますか？

お礼日時：2004/10/13 18:13