青線の解説の意味が分からないので、教えてください。 問題 次の条件に適するように、定数aの値の範囲を

青線の解説の意味が分からないので、教えてください。

問題 次の条件に適するように、定数aの値の範囲を、それぞれ定めよ。

関数F(x)＝1/3x^3+ax^2+(a+2)x+1が極値を持つ。

No.1 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/04/01 11:33

元の関数f(x)は正の3次関数です。

正の3次関数は下記のサイトのようなグラフ図になります。

http://wonder-trend.com/archives/4528.html

問題にあるf'(x)は導関数といって、元の関数の傾きの度合いを関数化したものです。
サイトにあるような3次関数の場合、2つの極値（極大値と極小値）をもちます。
極値の前後では傾きが反転します。（傾きが正の数から負の数、もしくは負の数から正の数）

3次関数f(x)において、極値をもつためには、導関数f'(x)の傾きが0になる箇所が2つないといけません。
つまり、導関数f'(x)は2次関数なので、f'(x)=0が2つの実数解を持たないといけないことになります。
（注意点として、=0がつくと、f'(x)=0は2次関数ではなく、2次方程式と呼びます）

2次方程式f'(x)=0が2つの実数解をもつためには、2次方程式の判別式DがD>0である必要があります。

青字の部分を解説すると以上になります。

この回答へのお礼

詳しい説明ありがとうございます。
とても参考になりました。

お礼日時：2018/04/01 14:50

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/04/01 12:25

f(x)が極値を持つためには、増減表のf'(x)の欄が＋からー、またはーから＋に変わればよい。

この問題では、f'(x)は（下に凸の）2次関数だから、f'(x)のグラフが異なる2点でｘ軸と交われば、
グラフはプラスからマイナスそして再びプラスへと変わってくれる。
2次関数f'(x)が異なる2点でｘ軸と交わるということは、f'(x)=0としたときに異なるｘ（実数解）が２つあるということ。
これが、青線が言いたい内容です。

この回答へのお礼

わかりやすい説明ありがとうございます。参考にさせていただきます。

お礼日時：2018/04/01 14:51

No.2 回答者： ぽきぽきぽきぽき 回答日時： 2018/04/01 11:50

f'(x)>0のときf(x)は右上がり、逆にf'(x)<0のときf(x)は右下がりのグラフになります。

f'(x)=0のときはf(x)は水平です。
今回f'(x)は二次関数なので、f'(x)=0が異なる2つの解を持つ、すなわち、f'(x)が正の部分も負の部分も両方持つときf(x)は極地を持つ。

この回答へのお礼

わかりやすい説明ありがとうございます。

お礼日時：2018/04/01 14:50