ａ＞０,b＞０,ａ＋b＝1のときａ√Ｘ＋b√Ｙと√(ａＸ＋bＹ)の大小を不等式を用いて表せ。という問

ａ＞０,b＞０,ａ＋b＝1のときａ√Ｘ＋b√Ｙと√(ａＸ＋bＹ)の大小を不等式を用いて表せ。という問題で写真の(2)が解説なのですが、下から六行目からの意味がよく分からないので教えて下さい。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/04/15 00:50

まず、元の式は、

P=(sqrt(ax+by))^2 - (a*sqrt(x)+b*sqrt(y))^2 （sqrt：ルート、^2：2乗）

です。これにa+b=1を代入したら、

P=a*b*(sqrt(x)-sqrt(y))^2

となったといっています。つまり、

(sqrt(ax+by))^2 - (a*sqrt(x)+b*sqrt(y))^2=a*b*(sqrt(x)-sqrt(y))^2

が成り立ちます。
次に、a>0, b>0なので、x≧0,y≧0であれば、(sqrt(x)-sqrt(y))^2≧0になります。よって、

(sqrt(ax+by))^2 - (a*sqrt(x)+b*sqrt(y))^2=a*b*(sqrt(x)-sqrt(y))^2≧0より

(sqrt(ax+by))^2 - (a*sqrt(x)+b*sqrt(y))^2≧0

(a*sqrt(x)+b*sqrt(y))^2 ≦ (sqrt(ax+by))^2

ここで、a>0, b>0,x≧0,y≧0なので、左辺の a*sqrt(x)+b*sqrt(y)は0もしくは正の実数になります。
また、右辺のax+byも0もしくは正の実数になり、そのルートも0もしくは正の実数になります。よって、

a*sqrt(x)+b*sqrt(y) ≦ sqrt(ax+by)

になります。

確かにちょっと解説がはしょりすぎですね。