5で割ると3余り、8で割ると4余り、13で割ると9余るような自然数nで最小のものを求めよ。という問題

5で割ると3余り、8で割ると4余り、13で割ると9余るような自然数nで最小のものを求めよ。という問題があるのですが、糸口が掴めません。このような3つの共通な自然数を求める場合、どのような順序で解けばよいのでしょうか？考え方だけ教えていただけると嬉しいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： sisido166 回答日時： 2018/02/03 08:30

すでに数学的な回答が複数出ていますので、もう少し簡単な考え方の一例として回答します。

まず、５で割ると３余る事から、自然数nの一の位は３か８という事が分かり、かつ８で割ると４余る事から、３は除外され、一の位は８と確定できます。そして、13で割ると９余る事から、n－９は一の位が９になる13の倍数だと解ります。13の倍数で一の位が９になるのは、13にかける数が３、13、23、33、・・・の場合なので、ではその中で条件に合う最少の自然数は・・・、と考えると解けるでしょう。中学生向けの回答ではありますが、参考までに。

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2018/02/02 21:31

数学の世界では、a を b で割り算した余りが c である時、mod(a/b) = c などと書きます。

mod(5/3)=2
mod(7/4)=3

n = 13 * a + 9 とする。（a は自然数）
当たり前だけど mod(n/13) = 9

これを 5 で割ると
3 = mod(n/5) = mod( {13a+9}/5 ) = mod( {10a + 3a + 5 + 4}/5) = mod( {3a+1+3}/5 )
両端の辺を比べると、3a + 1 が 5 の倍数である必要がある。

4 = mod(n/8) = mod( {13a+9}/8 ) = mod( {8a+5a+9}/8 ) = mod( {5a+5+4}/8 )
両端の辺を比べると、5a + 5 = 5 (a + 1) が 8 の倍数である必要がある。
5 を何倍しても 8 の倍数にならないので (a + 1) は 8 の倍数