nを自然数とするとき、2n－1と2n＋1の最大公約数が奇数になるのはどうしてですか？

nを自然数とするとき、2n－1と2n＋1の最大公約数が奇数になるのはどうしてですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2018/02/28 21:58

2n-1も2n+1も奇数。

奇数の約数なのだから、全て奇数でしかない。
（もし、偶数の約数を持っていたら、それは奇数ではなく偶数）

なので、そもそも約数が全て奇数なのだから、その中の最大の共通約数（つまり最大公約数）は奇数にしかなり得ない。

No.4 回答者： lawson 回答日時： 2018/02/28 21:59

最大公約数を偶数に持つには、

公約数を偶数に持つ必要がある。

公約数を偶数に持つには、
各々が
偶数の約数が持てる必要がある。

2n-1
は、
2n-1=2s
とあらわせないとになる。
そんな、自然数n, sの組が
探せばあるということだが。
この式は、
左辺が奇数
右辺が偶数
で矛盾してる

2n+1
は、
2n+1=2t
でも同様に矛盾

偶数の約数すらもてない
だから、
公約数に偶数はない。
だから、
最大公約数に
偶数はない。

だから、最大公約数は
必ず、奇数になる。

でも、いろいろ考えたけど。
1という奇数が最大公約数
となるものは、
思い付くけど。

それ以外の奇数が
最大公約数となる。
nはあるのかな。

この回答へのお礼

お答えいただきありがとうございます！
はい、この質問は2n－1と2n＋1が互いに素であることを証明する問題の一部なんです。
奇数の最大公約数は1だけなんですね！
勉強になりました。

お礼日時：2018/02/28 22:20

No.2 回答者： むらさめ 回答日時： 2018/02/28 20:32

2n－1も2n＋1も奇数です。

奇数同士の最大公約数というよりも、奇数の約数自体が奇数です。
約数の中に偶数が混じっていると、それ(2n－1,2n＋1)は奇数ではなくなります。
∴奇数同士の最大公約数は奇数になりますし、奇数と偶数の最大公約数も奇数です。

No.1 回答者： kmee 回答日時： 2018/02/28 20:29

自然数aと自然数bの公約数とは、aの約数でありbの約数でもある自然数のことです。

ということは、 aとbの最大公約数は、aの公約数の中のどれか、ということになります。

ここで、2n-1 の約数を考えてみましょう
その中に 偶数があれば、2n－1と2n＋1の最大公約数にも偶数が存在する可能性があります。

さて、偶数はありますか?