問題（高3 数学の文章題）の意味がわかりません。

今まで数学の問題を解く上で、答えはわからないものの、その問題の意味がわからなかった問題に出会ったことはありませんでした。しかし今日であってしあいました。正直言ってショック！そんなことはさておいて、問題の問題を・・・（しゃれ）


問い
　　n個の自然数1,2,3, ・・・・・・,nを一列に並べて得られる順列について、次の問い　　に答えよ。但しn＞＝4（nは４以上）とする。

（1）　数字n－1より右側には、n－1より小さい数字は並ばないものは、いくつある　　　か。

30分くらい考えましたが（解答じゃなく問題の意味）分かりませんでした。
つまり何を求めればいいのですか。そりゃ何かを何個あるかをもとめるのは分かりますが、「何か」つまり「数字n－1より右側には、n－1より小さい数字は並ばないもの」が何なのか分かりません。
教えてください。よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#942 回答日時： 2001/07/16 15:35

　「何か」とは「順列の種類」だと思います。

例えばn=3のとき（簡単にするため問題のn>=4は無視しています）　1,2,3,4,5を並べて得られる順列は
　123 132 213 231 312 321
の６種類ですよね。ここで「数字n－1より右側には、n－1より小さい数字は並ばないものは」とは
n=3,n-1=2ですから、「２より右側には、２より小さい数字（１のこと）は並ばない順列の種類」となりますから、答えは[123 132 の２種類]となります。

結論：この問題は非常に分かりにくい！！。あまり、この手の「不親切」な問題は悩まないでパスしましょう（笑）。

No.15 回答者： puni2 回答日時： 2001/07/21 03:52

nikorinさま

ご回答どうもありがとうございました。後から読み返してみると，No.13ではずいぶんぶしつけな文体で書いてしまったと反省しております。また，それにもかかわらず丁寧にご回答いただきありがとうございました。
元の文章が抗議に値するかどうかは，最終的には主観の問題ということになると思いますので，これで終わりたいと思います。
また，「数学の問題なのだから、純粋に数学の部分で考えさせる問題でなければいけないと思います」などのご指摘には全く同感です。
ただ私が言いたかったのは，一見すると非常な悪文であっても，その試験が想定している受験者の（平均的な）数学の知識に基づいて，問題の意味を数学的に意味づけて考えれば，場合によってはその悪文の度合は下がることもあるかもしれないよ，ということです。
その場合でも，よりましな（分かりやすい）表現があればそちらを選ぶのがよいのは当然のことで，「意味がわかるだけの読みにくい文章」でも構わないなどとは思っていませんので，念のため申し添えます。
それでは。

No.14 回答者： nikorin 回答日時： 2001/07/17 12:44

国語の話題ですが、数学の文章題についての話題ですので引き続きここで

意見を述べさせてください。

puni2さん、ご指摘ありがとうございます。

> 「において」という新たな語句の導入によって，ニュアンスが変わって
> しまっている点はどうお考えですか。

これはNo10の回答で言われている通りでした。私の認識不足です。
すみません。

> なんでも機械的に「は」の連続をやめればよいというものではないのです。

たしかに「元の文章は分かりやすいとは言えません。」という文章は「は」が２回
使われていますが、はっきりと意味が取れます。
しかし３度以上の連続は、やはり避けるべきだと私は思います。

> 次に，私の案に対して「（は）が残されてますが」とおっしゃっていますが，これは残した文と残さない文をまとめて表したものです。
> よく辞書などでこういう書き方がありますよね。カッコ内はあり，なし，両方を表すと。

これはカッコ付きでしたので十分わかっております。「は」を残したほうはいらないのではないかという
のが私の意図するところだったのです。言葉足らずでした。すみません。

> 「数字n－1より右側にはn－1より小さい数字が来ないもの」は、いくつあるか。

これは確かに意味はわかるのですが、「には」に不要な限定が入っていて
すっと頭に入ってきません。やはり「には」の「は」は取るべきだと思います。

> しかし，「許せない悪文」「抗議してもいい」と息巻くほどの悪文かどうかは疑問です。
> なぜなら，この文章は新聞記事でも文学作品でもなく，あくまでも数学の試験問題だからです。

私のもっとも言いたいことはここにあるのですが、正確さをもっとも必要とする数学の問題だからこそ
新聞記事などより正確でなければならないと思います。文章題の文法的意味で悩まなければならない
問題などもってのほかです。数学の問題なのだから、純粋に数学の部分で考えさせる問題でなければ
いけないと思います。また、意味が複数に照れるという意味で文学作品のようであってはならない
とは思いますが、だからといって意味がわかるだけの読みにくい文章であってもいけないと思います。
なるべく美文であることに越したことは無いでしょう。
上記の意味で「許せない悪文」「抗議してもいい」といったことを理解していただきたいと思います。

No.13 回答者： puni2 回答日時： 2001/07/17 03:14

>もう大丈夫かな？

どうやら大丈夫そうですね。

ところで，数学的には大丈夫そうですが，国語的な方面では，No.11のnikorinさんからコメントが寄せられましたので，いちおう私なりの考えを書いておきます。
nikorinさんのご回答を拝見すると，半ば機械的に（Wordなどのスペルチェッカーのように）「同じ助詞の連続＝悪文」と決めつけているように感じられます。（違ったらごめんなさい。）
確かに元の問題文では「は」が3回連続して使われており，これが文意を取りにくくしているのは事実です。しかし，「は」の連続を避けるのは目的ではありません。より意味の取りやすい文を作ろうとすると，結果的に同じ助詞が連続しなくなる場合が多い，ということでしょう。
「gessiさんの訂正…は『は』の連続がなくなってわかりやすくなっていると思います。」については，既に述べた通りですが，「において」という新たな語句の導入によって，ニュアンスが変わってしまっている点はどうお考えですか。なんでも機械的に「は」の連続をやめればよいというものではないのです。
もし，「において」を使うとしたら，文の初めに「これらの順列において」のように使うことになるでしょう。これならよく分かります。

次に，私の案に対して「（は）が残されてますが」とおっしゃっていますが，これは残した文と残さない文をまとめて表したものです。よく辞書などでこういう書き方がありますよね。カッコ内はあり，なし，両方を表すと。
また，「これは後に『は』が使われており、前述の通りどこに掛かっているのかよくわからなくなる」とのことですが，それならばどんな解釈が可能だと思われますか。
元の問題文では，
(1)「数字n－1より右側には、n－1より小さい数字は並ばないもの」は、いくつあるか
(2)数字n－1より右側には、（「n－1より小さい数字は並ばないもの」は、いくつあるか）
と，少なくとも2通りの取り方が考えられます。
（「もの」が指す内容とか，数学的に解くとどうなるかとか，n=5を代入したらどうなるか…などを考えれば，おのずと(1)であることが見えてくるのですが，それは置いて，今は字面だけを考えます。）
ところで，私の案では，（は）を残せば確かに助詞の「は」は2度使われていますが，それによって関係があいまいになることはないと思われます。
しかも，2度目の「は」だけの後に読点を打っていますので，〈「なんとかかんとか」は，いくつあるか〉という構造が容易にみえると思います。
つまり，自然と
　「数字n－1より右側にはn－1より小さい数字が来ないもの」は、いくつあるか。
というふうになると思うのですが，いかがでしょうか。
助詞の連続だけでなく，読点の打ち方にも注意を払ったうえで，考えていただきたいと思います。話し言葉ではなく，文章題，つまり書き言葉の問題なのですから。

確かに，元の文章は分かりやすいとは言えません。（←これも「は」が連続していますよ。どう添削しますか？）
しかし，「許せない悪文」「抗議してもいい」と息巻くほどの悪文かどうかは疑問です。
なぜなら，この文章は新聞記事でも文学作品でもなく，あくまでも数学の試験問題だからです。
そこでは，先ほどそばに置いておいた，「『もの』が指す内容とか，数学的に解くとどうなるかとか，n=5を代入したらどうなるか…などを考えること」や，順列とは何かという知識や，順列の問題を解いた経験などが，モノを言うのではないでしょうか。
少々厳しい書き方だったかも知れませんが，いま一度考えてみていただければ幸いです。
（長文多謝）

No.12 回答者： stomachman 回答日時： 2001/07/16 22:10

落ち着いて、落ち着いて。

こういうときには、具体例で考えると良いですよ。

取りあえずn=5とでもしましょうか。n-1＝４ですね。

＞　n個の自然数1,2,3, ・・・・・・,nを一列に並べて得られる順列について
＞　(1) 数字n－1より右側には、n－1より小さい数字は並ばないものは、いくつあるか

に、n=5を「代入」してみると

＞　５個の自然数1,2,3,4,5を一列に並べて得られる順列について
＞　(1) 数字4より右側には、4より小さい数字は並ばないものは、いくつあるか

「５個の自然数1,2,3,4,5を一列に並べて得られる順列」
というのは例えば
(a) 14352
(b) 23145
(c) 54312
などですね。

「数字4より右側には、4より小さい数字は並ばない」という性質をXと書きましょう。
(a)は、数字４より右に、4より小さい数字である3と2があります。だから(a)は性質Xを持っていない。
(b)では、数字４より右にあるのは5だけで、4より小さい数字はありません。だから(b)は性質Xを持っている。
(c)は、数字４より右に、4より小さい数字である3と1と2があります。だから(c)は性質Xを持っていない。

さて、「....並ばないものは、いくつあるか」という文章の「もの」とは、もちろん「順列」のことです。

つまり、n=5の場合には
「1,2,3,4,5を並べて順列を作ると、性質Xを満たすものは何通りできるか」
を数えればよい。

もう大丈夫かな？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。回答ナンバー１０のpuni2さんの言うとおり、順列という言葉を無視していました。数列かなんかをイメージしていました。よって、「n－1より右側にn－1より小さい数字なんかくるわけないじゃないか。n－1の右側にはｎしかないじゃないか。ということは、答えは０個？いやいやそんなことはない。そうだったら問題にならないじゃないか・・・」なんてことをずっと考えていました。
なので具体例もあげようにあげられなかったわけです。

お礼日時：2001/07/16 23:42

No.11 回答者： nikorin 回答日時： 2001/07/16 17:36

だんだん数学じゃなくて国語になってきましたが。

「数字n－1より右側には、n－1より小さい数字は並ばないものは、いくつあるか。」
は私も非常に悪文だと思いました。理解するのに数回読みました。
これは「は」が連続して使われていて、どこに掛かっているのかはっきりしないためだと思います。
（模試の問題だから、わざとわかりにくくしてるのかな？それにしてもこの悪文は
許せないですね。抗議してもいいかもしれません。）

gessiさんの訂正
「数字n－1より右側において、n－1より小さい数字が並ばないものは、いくつあるか。」
は「は」の連続がなくなってわかりやすくなっていると思います。

puni2さんの訂正
「数字n－1より右側に（は）n－1より小さい数字が来ないものは、いくつあるか。」
では（は）が残されてますが、これは後に「は」が使われており、前述の通りどこに掛かって
いるのかよくわからなくなるのでいらないと思います。

この回答への補足

上のお礼の訂正
誤：解答
正：回答

補足日時：2001/07/16 23:31

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。僕も質問するとき、「文法的に解説してください。」と書こうと思ったぐらいですから。

お礼日時：2001/07/16 23:30

No.10 回答者： puni2 回答日時： 2001/07/16 16:46

gessiさん，はじめまして。

計算の仕方は皆さんがお答えになっていますので，問題文の表現について。
ポイントは2点あると思います。

第1は，問題文の最初にある「n個の…得られる順列」の意味です。
ここまでを読んで，頭の中に「ああ，1からnまでの自然数を並べるのだから，n!通りの並べ方ができるな」とイメージできなかったことが，おそらくつまずきの第一歩だったのではないでしょうか。
「順列」という言葉の定義は，手元の本には次のようにあります。
「n個のものからr個のものをとり出す順列：　n個のものの中から，r個のものをとり出し，r個をある順序に並べたもの。」（統計ガイドブック）
つまり，順列とは「並べること」だけでなく，「そうやって並べてできた（nPr通りの）列」も意味します。
従って，(1)の問題文の最初のところには，「これらn!通りの順列の中で」という語句が省略されているとみることができます。

第2は，余分なところに読点（、）が打ってあったということです。
「数字n－1より右側には、」の最後の「、」があるため，かえって分かりにくくなっています。これを省いて，
「数字n－1より右側にはn－1より小さい数字は並ばないものは、いくつあるか。」
としたほうが，分かりやすいですね。

次に，gessiさんの訂正のご提案について。
>そういう解釈なら、問題文は
>「数字n－1より右側には、n－1より小さい数字は並ばないものは、いくつあるか。」
>ではなく
>「数字n－1より右側において、n－1より小さい数字が並ばないものは、いくつあるか。」
>というほうがあってますよね。
>僕は前半の「右側には」→「右側において」の変更はともかく、後半の「数字は」は「数字が」に変えたほうがいいと思います。

そうかなあ。特に「において」への変更はかえって題意がつかみにくくなると思われるのですが。
高校時代，数学が苦手だった私が言うのだから本当です。(^^)　というのは冗談ですけど。

数字n-1より右側「において」と言われると，まず大前提としてn-1の右側だけを考えるんだ，n-1より左にもいろいろあるけれどそれは一切見ないことにするんだ，というニュアンスが感じられます。
ところが，この問題の場合は，n-1の左も右も含めた「1からnまでを並べた順列」がn!通りある，その全体を（前提として）考えるのですから，かえって何のことやらわからなくなり，不適切だと思います。

「数字は」「数字が」は，どちらでも大差ないでしょう。
「は」を使うと，「右側には，n-1より小さい数字【は】並ばない（けれど，n-1以上の数字は並んでもよい）」というニュアンスですので，No.7とNo.9（yacobさん）のような解き方につながりやすい気がします。ヒントというほどのものではありませんが。
一方「が」を使うと，そういった含意はありませんが，文意が若干ストレートで読みやすくなるかなという気もします。

むしろ直すのなら，上で述べた読点を削ったうえで，
「数字n－1より右側に（は）n－1より小さい数字が来ないものは、いくつあるか。」としてはどうでしょう。
（は）はあってもなくてもいいと思います。

この回答へのお礼

puni2さん回答ありがとうございます。決定的な僕の敗因をご指摘いただきありがとうございます。つまり今考えてみると、「順列」という言葉を完全に無視してました。それに気づいてればもう少し考えられたかもしれません。実は、数列かなんかだと考えていました。

お礼日時：2001/07/16 23:49

No.9 回答者： yacob 回答日時： 2001/07/16 16:13

No.7の回答で間違いがありました。

n-1より右にn-1より小さい数字がこないということは、右端が　n-1、n　で終わるものの他に、n-1　で終わるものもあります。
したがって、(n-2個の数字),n-1,n 　の並び方と、(n-1個の数字)、n-1　の並び方の2種類があります。
すみません。計算のこと宜しく御願いします。。

No.8 回答者： HitomiKurose 回答日時： 2001/07/16 15:52

具体的にしてみるとわかりやすいかな？

n=4のとき…
「1,2,3,4を、3(…n-1です）より右側に3未満の数(1,2ですね)が来ないように並べる」のですから
(1,2,3,4),(2,1,3,4)と(1,2,4,3),(1,4,2,3),(2,1,4,3),(2,4,1,3),(4,1,2,3),(4,2,1,3)
「と」の前は1,2の並べ方、後の6つは1,2,4の並べ方を数えればいいわけです。
=2!+3!=8

n=5のとき…
「1,2,3,4,5を、4(…n-1です）より右側に3未満の数(1,2ですね)が来ないように並べる」のですから
同様に1,2,3の並べ方と1,2,3,5の並べ方の合計
=3!+4!=30

で、一般には
1,2,3,…,(n-2)の並べ方(n-2個)と1,2,3,…,(n-2),nの並べ方(n-1個)の合計
=(n-2)!+(n-1)!=n*(n-2)!

この回答へのお礼

皆さんありがとうございました。非常に分かりやすい説明、ありがとうございました。とくにHitomiKuroseさん、具体的な例をあげて説明してもらって感謝しています。こんなのに一時間も費やした僕っていったい・・・

お礼日時：2001/07/16 16:02

No.7 回答者： yacob 回答日時： 2001/07/16 15:44

既に色々アドバイスがあってお判りのことと思いますがら蛇足ながら。

数字　n-1　より右側にには　n-1　より小さい数字が並ばないということは、n-1、または　n　しかこないわけで、n-1　が１個しかないことから、n-1　の右側には　n　しかないこととなります。したがって、n-1、n　の２個が、右端に並ぶことになります。残りの　１．２．３、、、n-３、n-２　で左側の　n-２個　を構成するわけです。いかがでしょうか。