積分の問題について質問です。 ∫[0→π]|sin(x-a)|dx (0<a<π)のときの積分の計算

積分の問題について質問です。

∫[0→π]|sin(x-a)|dx (0<a<π)のときの積分の計算方法を教えてください。

No.1 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/06/28 04:04

I=∫[0→π]|sin(x－a)|dx＿＿①

を計算する。
x－a=tとおくと、|sin(x－a)|=|sin t|となり、dx=dt、tの積分範囲は－a→π－aとなるので
I=∫[－a→π－a]|sin t|dt＿＿②
である。|sin t|のグラフは図のようになる。色を付けた部分は、積分範囲の一例である。
色を付けた部分は二つの部分からなる。
tの積分範囲を－a→0と0→π－aの二つに分けると
－a→0の範囲では、sin t<0 だから|sin t|=－sin t
0→π－aの範囲では、sin t>0 だから|sin t|=sin t
となり、
I=∫[－a→0](－sin t)dt +∫[0→π－a]sin t dt
=－∫[－a→0] sin t dt +∫[0→π－a]sin t dt＿＿③
sin tの不定積分は－cos tだから
I=－{－cos 0+cos (－a) }+{－cos (π－a) + cos 0}
=－{－1+cos a }+{cos a +1}
=2＿＿④

No.2 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/04 19:38

I=∫[0→π]|sin(x－a)|dx

とする。
x－a=t とおくと、|sin(x－a)|=|sin t|となり、
dx=dt、tの積分範囲は－a→π－aとなるので
I=∫[－a→π－a]|sin t|dt
f(t)= |sin t|
とおくと、
I=∫[－a→０]f(t)dt+∫[0→π]f(t)dt+∫[π→π－a]f(t)dt
ここで、３つ目の積分を変形する。
∫[π→π－a]f(t)dt= ∫[π→π－a] |sin t|dt
ここで、t=u+π　　とおくと
∫[π→π－a] |sin t|dt＝∫[0→－a] |sin(u+π)| du=∫[0→－a] |sin(u)| du
=-∫[－a→0] f(t)dt
したがって、
I=∫[－a→０]f(t)dt+∫[0→π]f(t)dt-∫[－a→0] f(t)dt
=∫[0→π]f(t)dt=∫[0→π]|sin t|dt=2
となります。
aに制限がついていますが、どのようなaに対しても上記の結果は適用できます。