この問題を教えていただきたいです。 ある試験の成績は標準偏差15点の正規分布に従っている。受験者10

この問題を教えていただきたいです。

ある試験の成績は標準偏差15点の正規分布に従っている。受験者100人を無作為に選んだ標本の平均は70点であった。母平均について99%の信頼区間で推定せよ。四捨五入して整数で答えよ。


よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/08/02 13:05

母平均が分からないのに、母集団の「標準偏差15点」は分かっているという、特殊な問題ですね。

（いかにも「統計学」の学習用の問題）

母集団から無作為に標本を採取してくれば、その標本平均は「母平均」（未知）付近に、「母標準偏差」と「サンプルサイズ」に見合ったばらつきで分布すると期待できます。
この「ばらつき」は
　母標準偏差/√(サンプルサイズ)　
と表されます（「標準誤差」という言い方をすることもあります）。
この問題の場合には
　標準誤差 = 15/√100 = 1.5
です。

その「標本平均の分布のしかた」から、母集団の特性を推定するのです。
（この「100人を無作為に選んだ標本」をたくさん採ってくれば、その各々の「標本平均」は「母平均」を中心に「標準誤差」で正規分布をするはず、ということを前提に、たった１つの「100人を無作為に選んだ標本」から「母平均が存在するであろう範囲」を推定します）

あとは「正規分布」の特性を利用するだけです。
「母平均について99%の信頼区間で推定せよ」ということは、正規分布で「平均値を中心に、確率99％で存在する範囲」ですから
　μ - 2.57σ ～ μ + 2.57σ
ということです。
これを「標本平均 xbar、標本の標準誤差 1.5」を当てはめれば
　xbar - 2.57*1.5 ～ xbar + 2.57*1.5
→　70 - 2.57*1.5 ～ 70 + 2.57*1.5
→　66.145 ～ 73.855
ということになります。
四捨五入して整数にすれば
　66 ～ 74 点
ということです。

サンプルサイズを1000人、10000人などにすれば、もっと「狭い範囲」に推定できることが分かりますよね？

この回答へのお礼

教えてくださり、ありがとうございました！

お礼日時：2018/08/03 07:04