No.2ベストアンサー
- 回答日時:
cos72°=cos(-72°)=-cos(180°-72°)=-cos108°=-cos3θ ← cos(π±x)=-cosx の公式・cosの性質を利用するだけです
∴cos2θ=-cos3θ
cos2θ = -cos3θ ①に
ここで、3倍角の公式 cos3θ=4(cosθ)^3-3cosθ ➁
倍角の公式 cos2θ=2(cosθ)^2-1 ③
を適用する 3倍角の公式は加法定理などを使い導出出来る
2(cosθ)^2-1 = -(4(cosθ)^3-3cosθ)
-4(cosθ)^3 - 2(cosθ)^2 + 3cosθ + 1=0
4(cosθ)^3 + 2(cosθ)^2 - 3cosθ - 1=0 ← cosθ=-1の時,左式は0になり、(cosθ+1)が因数の一つだと判る。cosθ=-1,θ=180°であり、求める解ではない、
(cosθ+1)・(4(cosθ)^2 - 2(cosθ) - 1)=0 となり、2次式の方に解がある。2次式に解の公式を適用する
cosθ=(2±√(4+16))/(2・4)
=(1±√5)/4
但し(1-√5)/4<0 であり cos36°>0 とは異なるのでこれも解ではない
∴cos36°=(1+√5)/4 答え cos36°=(1+√5)/4
(2) は cosθ を式で捻り出してからも計算が面倒くさいです
No.1
- 回答日時:
(1)θ=36°より、180°-2θ=3θが成り立つ。
よって、cos2θ=-cos(180-2θ)=-cos3θとなり成立。
(2)cos2θ=-cos3θを2倍角の公式、3倍角の公式を用いてcosθについての方程式にする。
答え:cos36°=(1+√5)/4
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