二次不等式2x²−3x+m+1<0を満たす実数ｘが存在するようなｍの値の範囲を求めよ。 という問題な

二次不等式2x²−3x+m+1<0を満たす実数ｘが存在するようなｍの値の範囲を求めよ。
という問題なのですが

どうして問題文は不等号の向きが<なのに
かいせつでは＞の向きになっているのか分かりません。どなたか教えてください(><)

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/10/06 11:16

y=2x^2-3x+m+1 のグラフを考えて見ましょう。

xの2次の項の係数が正ってことは
y=2x^2-3x+m+1 は下に凸で、yが負になるxがあるということは、
グラフが2点でx軸と交わらなければいけない。
#グラフがx軸の下側に出っぱっていなければならない。

これは図をかけば明明白白ですよね?

2次関数が2点でx軸と交わるのは D>0であることと完全に同じなので
D>0が答えなのです。

No.3 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/10/03 10:19

模範解答では二次式の判別式を利用しているようですが、質問者は判別式の本質を理解されていないものと思われます。

判別式の本当の定義は大変複雑でそれを理解するには交代式の性質をしっかり学んでおく必要があります。しかし、判別式がその威力を発揮するのは高次式やn次式の場合であって、高校程度で出題される二次式の問題では利用する必要はありません。
...と、私の高校時代の恩師は言っていました。
この手の問題は、平方完成で解くのが定番です。

{∃x|2x²-3x+m+1<0}
1/8 {16x²-24x+8m+8}<0
1/8 {(4x-3)²-(-8m+1)}<0
(4x-3)²≧0 なのでこの不等式が成立するためには少なくとも (-8m+1)>0 である必要がある。よって
m<1/8
となります。

このとき出てきた途中式の
(-8m+1)
こそが、この二次式の判別式そのものなのです。

一般の二次式の平方完成は...
「xの降冪順に整理してx²の係数の4倍の逆数で全体を括り、xの係数の半分の2乗を足して引く。足した部分までを ( )² の形に因数分解し、引く以後の定数項を整理すると
1/4a {(2ax-P)²-D}
という形になる。」
となります。機械的な計算なのでしっかり練習しておきましょう。
尚、x²の係数が 1 で xの係数が偶数の場合、1/4a で括らなくてもキレイな形になります。このときの定数項は (-D/4) です。このパターンもよく出題されるので覚えておくと便利です。

No.2 回答者： ご意見をお願いします。 回答日時： 2018/10/02 21:27

Ｄ（判別式）によって実数解の存在を判別する際の補統合の向きと、出題された式の不等号の向きを混同されていませんか。

因みに、、、
①Ｄ＞０のとき、その二次方程式は異なる実数解を二つ持つ。
②Ｄ＝０のとき、その二次方程式は実数解を一つ持つ。
③Ｄ＜０のとき、その二次方程式は実数解を持たない。
を、この問題（二次不等式）に当てはめて解いたのでしょう。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/10/02 21:27

2x^2 - 3x + (m+1)<0を満たす実数xが存在するということは、2x^2 - 3x + (m+1)=0としたときのxは2つの実数解を持つと同じ意味を持ちます。

つまり、xが2つの実数解を持つということは、2x^2 - 3x + (m+1)=0の判別式が0より大きい（判別式>0)と言えます。

あとは解説に書かれている通りです。