名門の森 電磁気53について質問です。 誘導に従えば解けるのですが、解き終わってから出た答えに疑問が

名門の森 電磁気53について質問です。
誘導に従えば解けるのですが、解き終わってから出た答えに疑問が生じました。

疑問なのはⅡのベータトロンについての2点です。
① ・R＝Mv/qB 、M.q.B一定より、Rはvに比例するはず。しかし、vが加速されたときにRが一定とかありえないと思います。
・また、Rが一致するためにはもし、vが等しくなるという条件式を立てるのならわかりますが、そうではなく、力積Δpが等しいという条件から答えクを導くのですか？
② ΔΦ＝ΔBS 、S＝πR^2より
ΔΦ＝ΔB・πR^2 ・・⑴ これが本来のΔΦとΔBの関係であると思います。
しかし、ケの答えを少し変形するとΔΦ＝ΔB・2πR^2・・⑵となります。
本来、Φ＝BS でSが一定の時、ΔΦ＝ΔB・Sが成り立つはずです。今回の問題も⑴式は成り立つはずです。しかし、クの答えより⑵式も成り立たないといけません。これでは矛盾が生じませんか？

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/11/07 22:56

No.1です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞エネルギー保存則を使って、比べるのではなく、力積p同士を比べてΔBとΔΦの関係を求めているのでしょうか？

何を聞きたいのか意味不明です。

「加速器」ですから、外部からエネルギーを与えて「荷電粒子」を加速しています。外部からどんどんエネルギーを供給しているのですから、加速器内部ではエネルギー保存則など成り立ちません。

荷電粒子の加速に寄与するするのは「荷電粒子が存在する場所での電場」です。
その「電場」を作るには電磁誘導であり、電磁誘導に寄与するのは「荷電粒子の軌道が囲む面積を貫通する磁束の変化」です。
また、加速されて速度が時々刻々変化している荷電粒子の軌道半径を一定に保つには、速度に応じて「ローレンツ力」を変化させる必要があり、これは「荷電粒子が存在する場所での磁束密度」が関連します。
ある面積内の「磁束密度」を全部足し合わせたもの（数学的には積分）したものが「磁束」です。

これらの
・荷電粒子軌道が囲む面積内の磁束の変化（ΔΦ/Δt）
・荷電粒子軌道における磁束密度（→荷電粒子の向心力）
・荷電粒子の速度（運動量）
の関係からBとΦの関係を求めているのです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/11/02 13:07

問題文の中にも書いてある通り、ベータトロンは「磁場」を変化させることで「回転半径」を一定に保ちます。

従って、

＞①　M.q.B一定より、Rはvに比例するはず

いいえ。B も変化します。
遠心力 mv^2 /R と、磁場によるローレンツ力 qvB がつり合いますから
　mv^2 /R = qvB
→　R = mv/qB
ということで、「R は v に比例し、B に反比例する」ということです。

「カ」の誘導起電力は V = -ΔΦ/Δt、電場の大きさは「単位長さの電位差」なので
　E = V/(2パイR) = -[1/(2パイR) ]ΔΦ/Δt

従って、電子に働く力は
　F = -e * E = [e/(2パイR) ]ΔΦ/Δt
「運動量の変化は力積に等しい」から
　F*Δt = [e/(2パイR) ]ΔΦ
が「運動量の増加」になります。

＞② ΔΦ＝ΔBS 、S＝πR^2より
＞ΔΦ＝ΔB・πR^2 ・・⑴ これが本来のΔΦとΔBの関係であると思います。

電子軌道が囲む円内の磁束密度が「一定である」と勝手に仮定していませんか？
問題文の最後にも「ベータトロンでは、このような条件を満たす、一様でない磁場を使って加速を行う」とちゃんと書いてあるではありませんか。

一定ではなく、中心部ほど磁束密度が大きい強度分布をしています。
円の中心（r=0）から電子軌道（r=R）までの磁束密度 B(r) を「積分」したものが磁束Φで、それが
　Φ(R) = ∫[0→R]パイr*B(r)dr = 2パイR^2 * B(R)
ということであり、この「磁束密度 B(r) の分布」がベータトロンの「ノウハウ」なのですよ。

この回答へのお礼

わかりやすい説明本当にありがとうございました。 すいませんが、まだ一つ分からないことがあってお聞きしたいのですが、エネルギー保存則を使って、比べるのではなく、力積p同士を比べてΔBとΔΦの関係を求めているのでしょうか？

お礼日時：2018/11/07 18:37