愛媛大学確率について。

この問題が、（１）からわかりません。教えていただけると幸いです。
f(x)=x/2,g(x)=x,h(x)=x＋1/2とおく。x0=1とし,2枚の硬貨を繰り返し投げ,n回目の事象によりxnを次のように定める。
xn=f(xn-1)(2枚とも表のとき)
g(xn-1)(1枚が表,1枚が裏のとき)
h(xn-1)(2枚とも裏の時）
またpn,qn,rnをそれぞれ0＜xn≦1/3である確率,1/3＜xn≦2/3である確率,2/3＜xn≦1である確率とする。
(1)すべての自然数nに対して0＜xn≦1を示せ。
(2)p1,q1,r1を求めよ。
(3)pn,qn,rnをpn-1,qn-1,rn-1を用いて表せ。
(4)pn -rnを求めよ。
(5)pn を求めよ。

No.1 回答者： fef 回答日時： 2019/04/30 22:17

念のため伺いますが，

　h(x) = x + (1 / 2)
ではなく
　h(x) = (x + 1) / 2
ですよね．
括弧をつけずに「h(x)=x＋1/2」と書いてしまうと，前者のように読めてしまいますよ．

さて，まず(1)について，
このような漸化式で定義された数列に関する証明では，多くの場合，数学的帰納法が有効です．
そのことを念頭に置き，x_n が
　0 < x_n <= 1　……(*)
を満たしているときに
　0 < x_{n+1} <= 1　……(**)
が示せるか考えてみましょう．
特に本問では，硬貨の裏表によって
　x_{n+1} = f(x_n), g(x_n), h(x_n)
の三つの場合があり得るので，場合分けして考えるとよいでしょう．
そうすれば，どの場合でも(*)から(**)が導けるということがわかるはずです．
後はその事実を基に数学的帰納法の解答として仕上げればよいでしょう．

次に(2)についてですが，
これは p_n, q_n, r_n の定義が理解できているかを問うている問題ですね．
例えば p_1 は「0 < x_1 <= 1/3 である確率」ですから，
問題文に書かれたルール通りに x_1 を決めた場合にそのようになる確率を求めればよいだけです．

(3)は漸化式を求めさせる問題ですね．
p_n, q_n, r_n が p_{n-1}, q_{n-1}, r_{n-1} からどのように作られるか，
すなわち，
　0 < x_n <= 1/3　(確率 p_n),
　1/3 < x_n <= 2/3　(確率 q_n),
　2/3 < x_n <= 1　(確率 r_n)
となるためには
　0 < x_{n-1} <= 1/3　(確率 p_{n-1}),
　1/3 < x_{n-1} <= 2/3　(確率 q_{n-1}),
　2/3 < x_{n-1} <= 1　(確率 r_{n-1})
の状態からどのように遷移すればよいか，と考えましょう．

例えば，
　0 < x_n <= 1/3
となるためには
　0 < x_{n-1} <= 1/3 なる x_{n-1} に f もしくは g を作用させる
あるいは
　1/3 < x_{n-1} <= 2/3 なる x_{n-1} に f を作用させる
ことが必要十分です．
このことを踏まえて漸化式を作れば
　p_n = p_{n-1} * (1/4 + 1/2) + q_{n-1} * (1/4)
となりますね．
q_n や r_n についても同様です．

今回は文章だけで済ませましたが，遷移図を描いてみるのもよいでしょう．

(5)はいわゆる連立漸化式を解く問題ですね．
ただし本問はそれを完全独力で解けとは言わず，(4)というヒントを与えています．
まずはヒントに従い，(3)で求めた漸化式を加減して数列 {p_n - r_n} の漸化式を作りましょう．
すると，容易に解ける形の漸化式が得られ，そこから {p_n - r_n} の一般項が求まります．

また，本問の場合，数列 {p_n - 2 * q_n + r_n} に関しても一般項が容易に求まります．
そうして求まった {p_n - r_n}, {p_n - 2 * q_n + r_n} の一般項と
確率の和が 1 であることを表す式
　p_n + q_n + r_n = 1
とを組み合わせれば，{p_n} の一般項も求められますね．