確率の問題

各問が3つの選択肢からなる小問が10問ある。このうち1つが正解、2つは誤りの選択肢である。受験者は理解している問題なら必ず正しいものを選び、理解していないものはでたらめ（当確率）で回答する。ある人がちょうど7問正解したとして、それを採点官が｢この人は全問でたらめに回答した｣と判断する時、この判断が正しい確率を求める。
（1）Aを受験者がちょうど7問正解したという事象に、Bi（i＝1,2...10）をこの受験者がちょうどi問知っていたという事象とする。
P(A|Bi)を求めよ。

を教えて頂きたいです。

質問者からの補足コメント

• 銀鱗様
  私の質問分の書き方が悪かったかもしれませんが、私は3つの｢選択肢｣と書いたつもりです。問題は10個あって、それぞれの問題に選択肢が3つありそこから選ぶ、ということです。

    補足日時：2021/05/13 18:11

• 値にi を含めた状態でもよいなら求められるのでしょうか？（P(Bi)をiを用いて表すような…）
  私はそれをやろうとしてつまづいています。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/05/13 18:14

• ごめんなさい。iは0も入ってました。
  また、本文には注釈にi＝8,9,10はBiの確率ゼロだと書いてありました。後半に関しては読んだ時に当たり前だなと思ってしまったので質問の際は省略してしまいました。

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/05/13 22:46

No.9 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/05/14 01:25

#7です。

確かにそうです。＞#8

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/14 00:29

＞ P(Bi)は無情報事前確率として、離散一様分布を仮定し、

＞ ｉ＝0,1,2,3,4,5,6,7 について各々1/8づつを置くことになるのです。

置くことになるのではなく、
恣意的に置くのだということを忘れてはいけないかと。
例えば、一様分布よりも二項分布を仮定するほうが
自然だという考え方もある。
各問題を知っている確率が一定という前提を置くならば、
二項分布になるからね。それもまた、恣意でしかないが。

No.7 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/05/13 21:27

P(Bi)は求まりません。

しかし、Aという観測事実があれば、P(Bi|A)として求まります。
問題のP(A|Bi)は、そのステップとして用いられる尤度関数です。

敢えて言うなら、P(Bi)は無情報事前確率として、離散一様分布を仮定し、ｉ＝0,1,2,3,4,5,6,7 について各々1/8づつを置くことになるのです。

それにしても、添え字ｉが１～10っていうのが気になるなあ。

・１問以上分かっていたの？０問のケースはないのですか。
・７問しか正答できていなのに、なぜ10問知っていたというケースがあるのですか？

範囲としては高校数学だけど、問題を作成した人は素人でしょうかね。ボーっとしてんじゃないよ（チコ・５才）。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/13 20:53

いや... 「P(A|Bi)を求めよ」だからね。

それを求めることができるのだとしたら
P(Bi) = P(A∧Bi)/P(A|Bi) で P(Bi) が求まることになるが、
問題文の情報で P(Bi) を知る方法があるようには見えない。

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/05/13 20:24

#4です。

少し訂正させて下さい。

７問中７問とも分かっていた人が何％いたか

↓

７問正解した人の中で７問とも分かっていた人が何％いたか


これは、P(ｉ問分かっている｜７問正解する)　という設問とは逆の条件付確率を求めるベイズの問題となります。


ついでに、補足ですが、「全10問の正解不正解の同時確率を与える式」を尤度関数と言います。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/05/13 18:01

#3です。

ちなみに計算結果は以下のようになりました。
上から順に０問分かっていた～７問とも分かっていた、です。

なお、ここから、７問中７問とも分かっていた人が何％いたかというような内訳を計算する場合は、ベイズ逆推定を行わなければなりません。
前の回答で示した条件付確率はベイズの式の一部分になります。

0.000135481
0.000406442
0.001219326
0.003657979
0.010973937
0.032921811
0.098765432
0.296296296

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/05/13 17:40

企業で統計を推進する立場の者です。

P(７問正解する｜ｉ問分かっている)
=(偶然正解する問題の組合せ)×(分かっていて正解する確率)×(偶然正解する確率)×(残り3問を確実に間違える確率)
＝combin((10-i),(7-i)) * 1^i * (1/3)^(7-i) * (2/3)^3

詳しく説明します。

第１項：cimbinは組合せのエクセル関数です。引数(10-i)は、分かっていない問題数です。引数(7-i)は、偶然正解してしまった問題数です。例えば、i＝６問分かっていたケースでは、偶然にのこり４問中１問正解することになります。４C１という組み合わせの数だけ今回の発生事象が考えられます。

これ以降は、全10問の正解不正解の同時確率を与える式を考えます。

第２項：100％（＝１）の確率でｉ問は確実に正解しますので、その同時確率です。
第３項：1/3の確率で、のこりの偶然正解が発生します。７問中ｉ問は分かって正解していますので、（7-i）問は1/3の確率で偶然正解します。その同時確率です。
第４項：７問正解ということは、３問は確実に不正解にならなければいけません。2/3の確率で３問間違わなければいけません。その同時確率です。

つまり、 1^i * (1/3)^(7-i) * (2/3)^3 の部分は、全10問の正解不正解の確率の積になっています。

ちなみに、ｉは７を越えることはできません。

No.2 回答者： 銀鱗 回答日時： 2021/05/13 17:19

なんだろう…。

質問者さん自身が設問を理解していないような気がする。

設問の意味が分かっていないから解けないのだろうと思います。
その設問をもっとわかりやすく短い言葉で伝えられますか？
試しにやってみてください。

・・・

だってさ、3問ずつある質問が10個あって、
3問中1つは必ず正解するという前提に対して、
＞Aを受験者がちょうど7問正解したという事象に
なんて訳わからないこと言ってるんだぜ。
最低でも10問は正解してるんじゃないのか？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/13 17:18

P(A|Bi) = P(A∧Bi)/P(Bi).

i > 7 のとき P(A∧Bi) = 0,
i ≦ 7 のとき P(A∧Bi) = (1/3)^(7-i).
P(Bi) が与えられなくては、
P(A|Bi) の値は判りません。