2点(2,0),(-2,0)を通り、座標軸上に長軸と短軸がある楕円が、直線y=2x+5に接する。この

2点(2,0),(-2,0)を通り、座標軸上に長軸と短軸がある楕円が、直線y=2x+5に接する。この楕円の方程式を求めよ。

という問題で、解説では最初に楕円の方程式を
x^2/a^2+y^2/b^2=1とおいて、そこに(2,0),(-2,0)を代入していますが、最初から(2,0),(-2,0)を通るのは分かっているのだから、a^2=2^2=4はすぐ分かるのではないですか。最初からx^2/4+y^2/b^2=1とおくのは駄目なのですか。教科書でも、aの値はa>bでもb<aでもx軸との交点のx座標になっています。

No.1 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/05/09 22:34

2点(2, 0), (-2, 0) を通り、座標軸上に長軸と短軸がある楕円の方程式を

(x/2)²+(y/a)²=1 (a>0)
とすると、これに直線の方程式
y=2x+5
を代入すると
(x/2)²+{(2x+5)/a}²=1
(ax)²+(4x+10)²=4a²
(a²+16)x²+80x-(4a²-100)=0
(a²+16)²x²+80(a²+16)x-4(a²+16)(a²-25)=0
{(a²+16)x+40}²-4(a²+16)(a²-25)-1600=0
{(a²+16)x+40}²-4a²(a²-9)=0
これが重根をもつのだから
4a²(a²-9)=0 (a>0)
4(a+3)a²(a-3)=0 (a>0)
a=3
よって求める楕円の方程式は
(x/2)²+(y/3)²=0
とすると途中計算がかなり楽ですね。勿論駄目なんてことはありません。