この問題で行き詰まっています:
質量MのおもりA、Bと質量mの粘土を軽くて伸び縮みしない糸でつなぎ、A,Bの間の糸を定滑車にかけ、動き出さないように手で固定した。この時、床から粘土の下端までの距離をL、粘土の上端からBの下端までの距離をxとする。手をはなすとBと粘土は落下する。粘土が床に完全非弾性衝突してからBが粘土に衝突するまでの時間をtとする。ただし、おもりと粘土の大きさは無視できるものとする。
重力加速度の大きさgはどのように表されるか?
答えは:g=[(2M+m)x^2]/[2mlt^2]
A粘土とBおもりの加速度は計算できましたが、粘土が床に衝突した後、おもりBの運動はどう表せばいいかよく分かりません。
その問題を「a=(mg)/(2M+m)」と「L=(1/2)*a(t_o)^2」まで解きましたが、後のBの運動を表すにはどうすればいいか?運動量の保存をなんとか用いるべきか?
ヒントをいただければ嬉しいです。
よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>粘土が床に衝突した後、おもりBの運動はどう表せばいいかよく分かりません。
粘土が床に着いた以降は、粘土の重力は働かなくなりますから、AとBの重力がつりあって「力が働かない」状態なので、そのときの速さで「等速運動」を続けます。加速も減速もしません。
粘土が落下中には、糸の張力を T1 として
・Aの運動方程式:働く力は鉛直下向きに Mg、鉛直上向きに T1 ですから、「下向き」を正として
Mg - T1 = -Ma ①
・Bと粘土の運動方程式:働く力は鉛直下向きに (M + m)g、鉛直上向きに T1 で、加速度はAと共通(同じ大きさで逆向き)ですから
(M + m)g - T1 = (M + m)a ②
これから未知の T1 を消去すれば、①-②で
Mg - (M + m)g = -Ma - (M + m)a
→ mg = (2M + m)a
→ a = mg/(2M + m) ③
初速度がゼロ(静止状態からの落下)なので、時間 t 後の速度は
v(t) = a・t = [mg/(2M + m)]t ④
落下距離(変位)は、初期位置を基準にして
x(t) = (1/2)a・t^2 = (1/2)[mg/(2M + m)]・t^2 ⑤
粘土が床に着く時間 T は
x(T) = L (注:小文字のエルは数字の「1」と紛らわしいので、大文字で書きます)
となるときなので、⑤より
x(T) = (1/2)[mg/(2M + m)]・T^2 = L
→ T^2 = 2L(2M + m)/mg
→ T = √[2L(2M + m)/mg]
そのときの速度は、④より
v(T) = [mg/(2M + m)]T = √[2Lmg/(2M + m)]
ここからは、最初に書いたように「等速運動」を続けるだけなので、ここからの時間を t' とかくと、この位置からの時間 t' 後の落下距離(変位)は、
x'(t') = v(T)・t' = {√[2Lmg/(2M + m)]}t'
この落下距離が「Bと粘土の間隔 X」(上の変数と紛らわしいので、定数として大文字の X で書きます)になる時間をあらためて t と書くようなので
X = {√[2Lmg/(2M + m)]}t
あとはこれを変形して g= の形にすればよいので
X^2 = [2Lmg/(2M + m)]t^2
→ g = X^2 (2M + m) / (2Lmt^2)
選択肢では⑤。
運動方程式から「加速度」を求めたら、それで「速度」「変位」を求めます。
粘土が床に着くまでは「等加速度運動」ですが、床に着いた以降は粘土の重力がなくなるので「等速運動になる」という「何が起きているのか」「どういう現象か」を把握することが大事です。
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