運動の法則 （定滑車＋おもり）

この問題で行き詰まっています：

質量MのおもりA、Bと質量mの粘土を軽くて伸び縮みしない糸でつなぎ、A,Bの間の糸を定滑車にかけ、動き出さないように手で固定した。この時、床から粘土の下端までの距離をL、粘土の上端からBの下端までの距離をxとする。手をはなすとBと粘土は落下する。粘土が床に完全非弾性衝突してからBが粘土に衝突するまでの時間をtとする。ただし、おもりと粘土の大きさは無視できるものとする。

重力加速度の大きさgはどのように表されるか？
答えは：g＝[(2M+m)x^2]/[2mlt^2]

A粘土とBおもりの加速度は計算できましたが、粘土が床に衝突した後、おもりBの運動はどう表せばいいかよく分かりません。
その問題を「a=(mg)/(2M+m)」と「L=（1/2）*a(t_o)^2」まで解きましたが、後のBの運動を表すにはどうすればいいか？運動量の保存をなんとか用いるべきか？

ヒントをいただければ嬉しいです。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/06/04 10:23

＞粘土が床に衝突した後、おもりBの運動はどう表せばいいかよく分かりません。

粘土が床に着いた以降は、粘土の重力は働かなくなりますから、ＡとＢの重力がつりあって「力が働かない」状態なので、そのときの速さで「等速運動」を続けます。加速も減速もしません。

粘土が落下中には、糸の張力を T1 として
・Ａの運動方程式：働く力は鉛直下向きに Mg、鉛直上向きに T1 ですから、「下向き」を正として
　　Mg - T1 = -Ma　　　①
・Ｂと粘土の運動方程式：働く力は鉛直下向きに (M + m)g、鉛直上向きに T1 で、加速度はＡと共通（同じ大きさで逆向き）ですから
　　(M + m)g - T1 = (M + m)a　　　②

これから未知の T1 を消去すれば、①-②で
　　Mg - (M + m)g = -Ma - (M + m)a
→　mg = (2M + m)a
→　a = mg/(2M + m)　　　　③

初速度がゼロ（静止状態からの落下）なので、時間 t 後の速度は
　v(t) = a･t = [mg/(2M + m)]t　　　　④
落下距離（変位）は、初期位置を基準にして
　x(t) = (1/2)a･t^2 = (1/2)[mg/(2M + m)]･t^2　　　⑤

粘土が床に着く時間 T は
　x(T) = L　　（注：小文字のエルは数字の「１」と紛らわしいので、大文字で書きます）
となるときなので、⑤より
　x(T) = (1/2)[mg/(2M + m)]･T^2 = L
→　T^2 = 2L(2M + m)/mg
→　T = √[2L(2M + m)/mg]

そのときの速度は、④より
　v(T) = [mg/(2M + m)]T = √[2Lmg/(2M + m)]

ここからは、最初に書いたように「等速運動」を続けるだけなので、ここからの時間を t' とかくと、この位置からの時間 t' 後の落下距離（変位）は、
　x'(t') = v(T)･t' = {√[2Lmg/(2M + m)]}t'
この落下距離が「Bと粘土の間隔 X」（上の変数と紛らわしいので、定数として大文字の X で書きます）になる時間をあらためて t と書くようなので
　X = {√[2Lmg/(2M + m)]}t

あとはこれを変形して g= の形にすればよいので
　X^2 = [2Lmg/(2M + m)]t^2
→　g = X^2 (2M + m) / (2Lmt^2)

選択肢では⑤。

運動方程式から「加速度」を求めたら、それで「速度」「変位」を求めます。
粘土が床に着くまでは「等加速度運動」ですが、床に着いた以降は粘土の重力がなくなるので「等速運動になる」という「何が起きているのか」「どういう現象か」を把握することが大事です。

この回答へのお礼

:D お手伝いいただき本当にありがとうございます！
相変わらず、ご解説はとても勉強になりました；）
感謝します:)

お礼日時：2019/06/06 06:11

No.1 回答者： ななのたか 回答日時： 2019/06/04 10:16

粘土が床に着いた分、定滑車の右側の重さが軽くなるだけじゃ？

それで計算して合わなければ、他の要素もある、ってことです。