すみません、自分の計算結果に自信が持てないので、確認したいのですが、
http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/NaturalSci/m …
を参考にして、a=3、c=1の楕円体の表面積を求めたところ、42.7になったのですが、合っているか確かめられる方はいませんか?
A 回答 (10件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.2
- 回答日時:
bの値は?とか聞いてて遅れてごめんなさい。
自分が計算したら答えは、67.94 になりました。
リンク先の文字を使うと、
k=1
α=1.231
になりました。
ここで、Basicで答えを求めてみると上のような答えになりました。
Basicを使った理由は、∫[0→α](dφ/cosφ)の積分ができなかったからです。。。
ちょっと現役から離れていたもので。
No.3
- 回答日時:
私の計算ですと,68.2962 です.
計算は昔の私の回答
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=191215
の a>c のときの式に a=3,c=1 を代入しただけです.
5e777 さんのご回答と多少違うのは,5e777 さんの数値積分のためでしょうか?
なお,
∫[0→α](dφ/cosφ)
は
dφ/cosφ = dφ cosφ/cos^2 φ
= dφ cosφ/(1-sin^2 φ)
= d(sinφ)/(1-sin^2 φ)
とすれば解析的に実行できます.
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=191215
の式で log が出てくるのはこういうところからです.
http://mathworld.wolfram.com/OblateSpheroid.html
にも回転楕円体の表面積は載っています.
どこかつまらないミスしていなけりゃいいけれど.
すみません。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=191215
を見たのですが、理解できていません。
(1) (x^2+y^2)/a^2 + z^2/c^2 = 1
から、z一定は分かるのですが、
x^2+y^2 = R^2と置く意味が分かっていません。
また、x^2+y^2 = R^2と置いたときでも、
(1) R = (a/c)√(c^2 - a^2)
と導ける過程が理解できていません。
さらに、表面積への寄与が
(2) dS = 2πR √{dR^2+dz^2} = 2πR √{1+(dR/dz)^2} dz
で示される過程も分かりません。
そして、
(3) S = ∫{-c~c} 2πR √{1+(dR/dz)^2} dz
の積分の仕方もよく分かりません。
ほんとど素人でごめんなさい。
でも、しっかり理解したいので、もし、宜しかったら、ご教授下さい。
No.5
- 回答日時:
siegmund です.
もういちどチェックしましたが,やはり 68.2962 のようです.
解析的表現は
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=191215
と
http://mathworld.wolfram.com/OblateSpheroid.html
で同じですので,間違いはないでしょう.
> やっぱ数値積分だと誤差が出るのでしょうね。
そうですね~.
用いる公式(台形,シンプソン,ガウス,...)と分割数にもよりますね.
分母がゼロになる点はありませんから,
ちょっとやれば精度が出る形と思います.
大変丁寧なご解説ありがとうございました。
α=sin-1√(8/9)=7/9π
にしてしまっていたのですが、
どこが間違っていたのでしょうか?
No.6
- 回答日時:
siegmund です.
回転楕円体はどらやきみたいな平たい形と,
ラグビーボールみたいな長細い形がありますが,
今は a=b=3,c=1 ですからどらやき型です.
> (1) (x^2+y^2)/a^2 + z^2/c^2 = 1
> から、z一定は分かるのですが、
> x^2+y^2 = R^2と置く意味が分かっていません。
> また、x^2+y^2 = R^2と置いたときでも、
> (1) R = (a/c)√(c^2 - a^2)
> と導ける過程が理解できていません。
どらやきをテーブルにおいて,テーブルに平行な平面(z 一定)で切ります.
切り口は円で,(1)を変形した
x^2 + y^2 = a^2 {1-(z^2/c^2)} = R^2.
が円の方程式,その円の半径が R です.
中央で切れば円の半径は最大,上下の端に近づくほど半径は小さくなります.
R = (a/c) √(c^2 -z^2)
ですね.
あれ,すみません,前のスレッドで c^2 - z^2 のところが c^2 - a^2 に
なっていました.
書き損なったか,ミスタイプかです.
混乱させて申し訳ありません.
> さらに、表面積への寄与が
> (2) dS = 2πR √{dR^2+dz^2} = 2πR √{1+(dR/dz)^2} dz
> で示される過程も分かりません。
R+dR
z+dz ┌──────────/
│ /
│ /
│ /
z └──────/
軸 R
図はどらやきの z~z+dz の部分をテーブルに垂直な面で切ったもの.
言い換えれば,軸を中心に回転すればどらやきの z~z+dz の部分.
右の斜線がどらやきの表面で,これを軸のまわりに回転したときの微小表面積が dS です.
斜線部の長さは √(dz^2 + dR^2) = √{1+(dR/dz)^2} dz ですから,
軸の周りに回転すれば dS = 2πR √{1+(dR/dz)^2} dz です.
どらやき部分に対応する z 座標は -c から c までですから
S = ∫{-c ~c} 2πR √{1+(dR/dz)} dz
> そして、
> (3) S = ∫{-c~c} 2πR √{1+(dR/dz)^2} dz
> の積分の仕方もよく分かりません。
R = (a/c) √(c^2 -z^2) を使えば,
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=191215
にあるように,積分の本質的部分は
(4) ∫{-c~c} √{c^4 + (a^2-c^2)z^2} dz
ですから,a>c を考えて
∫ √(t^2 + p) dt
= (1/2){t√(t^2 + p) + p log |p + √(t^2 + p)|}
のタイプの積分(p>0)です.
細かい係数などは適当に整理してください.
> α=sin-1√(8/9)=7/9π
にはならないでしょう.
丁寧に教えて頂き、本当にありがとうございます。ただ、本当に申し訳ないのですが、
> (3) S = ∫{-c~c} 2πR √{1+(dR/dz)^2} dz
の積分がやはり分かりません。
(dR/dz)^2=(a2z2/c2)(c2-z2)^-1
でいいのでしょうか?
No.7
- 回答日時:
siegmund です.
> (3) S = ∫{-c~c} 2πR √{1+(dR/dz)^2} dz
> の積分がやはり分かりません。
>
> (dR/dz)^2=(a2z2/c2)(c2-z2)^-1
> でいいのでしょうか?
surfacesurface さんは正しい計算されていると思いますが,
誤解を防ぐために,例えば
(dR/dz)^2 = (a^2 z^2 / c^2) / (c^2 - z^2)
と書いて欲しいところです.
通分すると
1 + (dR/dz)^2 = {c^4 + (a^2 - c^2)z^2} / {c^2(c^2 - z^2)}
になります.
R = (a/c) √(c^2 -z^2)
ですから,
2πR √{1 + (dR/dz)^2}
を計算しますと √(c^2 -z^2) がちょうど分母分子でキャンセルされて
z に関係する部分は
√{c^4 + (a^2 - c^2)z^2}
だけのこります.
それで,
> 積分の本質的部分は
> (4) ∫{-c~c} √{c^4 + (a^2-c^2)z^2} dz
と言ったのです.
本当に本当にありがとうございます。
しかし(!)、まだ解にたどりつけません。
本当にすみません。
∫{-c~c} √{c^4 + (a^2-c^2)z^2} dz
=aπ/c^2[(a^2-c^2)z{(a^2-c^2)z^2+c^4}^0.5+c^4log|c^4+{(a^2-c^2)z^2+c^4}^0.5|]{-c~c}
=2πa^2(a^2-c^2)
になってしまいました。
本当すみませんが、何が間違っていますかね。
No.8
- 回答日時:
siegmund です.
すみません,ミスタイプしました.
No.6 の回答で
∫ √(t^2 + p) dt
= (1/2){t√(t^2 + p) + p log |p + √(t^2 + p)|}
と書いたのは
∫ √(t^2 + p) dt
= (1/2){t√(t^2 + p) + p log |t + √(t^2 + p)|}
と訂正してください(log | のすぐあと).
もうミスがなけりゃいいんですが.
ありがとうございます。
うーーーん、何故かまだ解に至れません。
∫{-c~c} √{c^4 + (a^2-c^2)z^2} dz
=aπ/c^2[{(a^2-c^2)^0.5}z{(a^2-c^2)z^2+c^4}^0.5+c^4log|{(a^2-c^2)^0.5}z+[{(a^2-c^2)z^2+c^4}^0.5|]{-c~c}
=2πa^2(a^2-c^2)^0.5 + (πac^2) log {[a+√(a^2-c^2)]/[a-√(a^2-c^2)]}
になってしまったのですが、計算間違いしてますか?
No.9
- 回答日時:
siegmnd です.
係数を整理すると
(a) S = (2πa/c^2)∫{-c~c} √{c^4 + (a^2-c^2)z^2} dz
= (2πa/c^2) √(a^2-c^2) I
(b) I = ∫{-c~c} √{z^2 + p} dz
= (1/2){z√(z^2 + p) + p log |z + √(z^2 + p)|} {-c~c}
(c) p = c^4/(a^2-c^2)
ですね.
計算間違いなのか,式を書くときの間違いなのかわかりませんが,
お礼に書かれた式は積分のところだけ取り出した式と
全体の表面積の式が混乱しているようです.
√(a^2-c^2) が全体にかかっているあたり(S の(a)式の2行目)は大丈夫ですか.
log の前に p/2 がありますから,log のところの係数は全部あわせて
(2πa/c^2) √(a^2-c^2) (p/2) = πac^2 / √(a^2-c^2).
第一項については,
√(c^2 + p) = ac/√(a^2-c^2) となるあたりとか
(つまり,S の式(a)の2行目の √(a^2-c^2) とキャンセルして √が消える),
そこらんへんにミスがないでしょうか.
ついに解に到達しました。ありがとうございました。
√{c^4+(a^2-c^2)z^2} = √(a^2-c^2)√{c^4+(a^2-c^2)z^2}/√(a^2-c^2) = √(a^2-c^2)√{c^4/(a^2-c^2)+z^2}
とするのが、ポイントでしたね。
ちなみに、宜しければもう少しお聞きしたいのですが、
∫ √(t^2 + p) dt
= (1/2){t√(t^2 + p) + p log |t + √(t^2 + p)|}
の導き方については、面倒だとは、思うのですが、ご教授願えませんか?
No.10
- 回答日時:
siegmund です.
> ついに解に到達しました。ありがとうございました。
Congratulations!
> ちなみに、宜しければもう少しお聞きしたいのですが、
> ∫ √(t^2 + p) dt
> = (1/2){t√(t^2 + p) + p log |t + √(t^2 + p)|}
> の導き方については、面倒だとは、思うのですが、ご教授願えませんか?
(√p)t をあらためて t と書けば,
∫ √(t^2 + 1) dt がわかればよいことになります.
以下,これでやります.
p は最後に適当に修正すればよいでしょう.
すぐに見えるのは,
(1) 1 + tan^2(θ) = sec^2(θ) = 1/cos^2(θ)
になることを考えて
(2) t = tanθ
と置くことですが,これだと
(3) dt = {1/cos^2(θ)} dθ
だから
(4) ∫{1/cos^3(θ)} dθ
が出てきて,またこれから苦労します.
ルートが分母にある形の
(5) ∫{1/√(t^2 + 1)} dt
だったら,(2)で簡単になるのですがね.
で,双曲線関数を使った方が簡単です.
(6) cosh^2(u) - sinh^2(u) = 1
になることを考えて,
(7) t = sinh(u)
とおきます.
こうすれば,dt = cosh(u) du から
(8) ∫cosh^2(u) du = (1/2){sinh(u) cosh(u) + u}
で簡単に計算できます(所詮,双曲線関数は指数関数で書けますから).
あとは,(8)の { } の第1項は
(9) sinh(u) cosh(u) = t√(t^2+1)
ですね.
第2項の方は,u を t に戻してやる必要があります.
(10) u = arcsinh(t)
ですが,実は arcsinh(t) は
(11) arcsinh(t) = log{t + √(t^2+1)}
です.
あとはお任せします.
また,どこかミスタイプや書き損ないがあるかも知れませんから,
チェックもよろしく.
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
logeの計算
-
10の0.3乗って??
-
2の50乗を簡単に概算出来る方...
-
∮x ^2/x-1 dxの計算結果につい...
-
真数の真という漢字にはどのよ...
-
log(-2)の求め方
-
1/2+1/4+1/6+……+1/(2n)が発散
-
【経済】毎年3%ずつ成長率が上...
-
262144って2の何乗でしょうか?
-
物理の計算で×10^3とかするのは...
-
数学の口頭試問具体例を教えて...
-
0.5時間などの時間計算の方法
-
付き合った日を1日から数える...
-
1000円の3割の計算教えて下さい
-
50×78を工夫して計算
-
20000円の3分の2の計算のしかた...
-
1000分の10の計算の仕方を教え...
-
1000分の3は何%ですか
-
1日目に1円 二日目に2円 三日目...
-
土嚢1体で何m3入りますか?
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
logeの計算
-
10の0.3乗って??
-
2の50乗を簡単に概算出来る方...
-
∮x ^2/x-1 dxの計算結果につい...
-
262144って2の何乗でしょうか?
-
log(-2)の求め方
-
2のN乗が10の場合、手計算で...
-
常用対数についての問題です。7...
-
数学の口頭試問具体例を教えて...
-
1/2+1/4+1/6+……+1/(2n)が発散
-
【経済】毎年3%ずつ成長率が上...
-
2を何乗したら2億を超えるか
-
なぜ高速フーリエ変換はO(n*log...
-
dbからμVへの変換方法
-
極限の計算をお願いします。 {...
-
物理の計算で×10^3とかするのは...
-
真数の真という漢字にはどのよ...
-
べき乗とはなんでしょうか? 数...
-
スタージェスの公式について
-
logを分数で近似
おすすめ情報