うなりがよく理解できません。 |f-f'|=Fの公式の導出なのですが基本的なところからわからないよう

うなりがよく理解できません。
|f-f'|=Fの公式の導出なのですが基本的なところからわからないような気がします。
まずうなりについてですが画像では時刻に関する関数を扱っていますがなぜなのでしょうか。変位と時刻の2変数関数で扱った方が一般性があって良いと思うのですが。教科書で書かれているようなうなりのグラフを見て見ても横軸が時間軸になっているのも少し疑問です。
さらに振動数の差が小さいので～辺りからよく理解できません。
詳しい方よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 貼り忘れました。
  申し訳ありません。

  
    補足日時：2019/07/01 11:07

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2019/07/11 10:12

添付図の1段目は、黒が55Hzのsine波、赤は60Hzのsine波の波形を0.5秒間ぶんプロットしたもの。

2段目の青は、黒の波と赤の波との差の波形の0.5秒間ぶんです。うなりは青の波形が「57.5Hzのsine波が2.5Hzで振幅変調を受けた（だから掛け算で表される）波形」と解釈できる、ということです。5Hzで振幅変調ってのは、音でいえば音の大きさが大きくなったり小さくなったりを2×2.5=5Hzの周期で繰り返す。

以上が基本的な、教科書の話なのだけれども、では「一般の波」ではどうか。

どんな関数y(t)もsine波とcosine波の重み付きの足し合わせで表現できる（フーリエ変換）。すなわち
　　y(t) = ∫ A(f) cos(2πf) + B(f) sin(2πf) df （ただし積分はf=0〜∞の定積分）
という風に表せる。たとえば、「ある日の正午に指をパチンと鳴らした」という音も、このように重みA(f), B(f)（スペクトル）で表せる。さらに「その翌日の深夜0時に背中をポリポリ掻いた」という音も同様で、ただしA(f), B(f)が異なるだけです。これらの音同士が「うなり」を生じるワケがないっしょ。つまり、少なくともうなりを論じるには「一般の波」というだけでは前提が一般的すぎることがわかります。

　楽音の波形は、少数の周波数成分、それも、互いに倍音になっている成分からできています。そういう波形でのうなりなら考えられます。「音色は同じだけど音高がちょっと違う音を重ねたらどうなるか」ってことですね。
　というわけで、図の3段目は、黒が55Hzのsine波の2〜 9倍音(110,165,220,…, 495Hz)のsine波から成る「一般の」波形を0.5秒間ぶん切り出したもの。赤は60Hzの2～ 9倍音(120,180,240,…,540Hz)の波から成る波形です。図の4段目の青は、黒の波と赤の波との差の波形の0.5秒間ぶんです。聞いてみると「うなり」は確かに聞こえる。グラフ上では、周期的っぽい繰り返しパターンが見られ、その繰り返し周期は振動数の差 (5Hz)だとわかります。が、実は正確な繰り返しになっているわけではない。


余談ながら：図の3段目の黒の波形を聞いてみると、弦を弾いたような音がします（が、実際の楽器では数十倍音ぐらいまでの成分を含んでいますので、それに比べるとボケたような音です。）この波形には55Hzの周波数成分は全く含まれていないにもかかわらず、耳には音高55Hzの低音がはっきり聞こえる。この現象を”missing fundamental”と言います。だから、聴覚は周波数分解して音を認識している訳ではないとわかります。一方、黒の波形に55Hzの成分を加えても波形はそれほど変わるわけではない。なので、聴覚はむしろ「波形の繰り返しの周期」から基本周波数（この場合55Hz)を割り出しているのだろうと推察できます。
閑話休題。

ところで、うなりは音だけの話ではないですね。
運動している物体にレーザ光や電波を当てて、反射してきた光（や電波）と、元の光（や電波）とを足し合わせると、「うなり」が現れます。その周波数から、反射してきた光（や電波）に生じたドップラー効果が生じているかが正確に測定でき、従って光（や電波）を照射した方向に沿った物体の速度（視線速度）が非常に正確に算出できる。このとき、うなりがはっきり現れてほしいので、「一般の波」ではなくて、単一の周波数成分の波を照射するのがカシコイ。
というわけで、教科書の話に戻るわけです。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/07/05 13:27

・耳元の振動に関してとの事ですがうなりという現象は音波のみで考えるのが普通なのでしょうか？一般の波についてうなりを考えるならば時刻だけでは物足りないかなと思いました。

＞
うなり（ワーンワーンと言う響きの振動数）を調べるなら、観測点（耳元）の媒質の振動の様子を時間経過で調べれば十分です。

・A²以降についての話ですが波動エネルギーがU=2A²π²ρf²vで表されるのは知っていますが人間の感じる音というものはこの音エネルギーを感じとっているということですか？鼓膜が振動を伝えられて聞こえるものと理解しているのですが。
＞
私は医学者ではないので、詳しくはありませんが、耳の鼓膜が強く振動すれば大きい音（強い音）として認識され、
鼓膜の振動が弱ければ、弱い音と認識されるという事だと思います。
鼓膜の振動の強弱は音の波の強さに依存すると思いますので、
音に強弱があると感じるのは
音の波の強さ：エネルギー（の強弱）を感じ取っていると結果だと思います


・さらに一般の波については二乗をしてエネルギーを考えて観測をしていないと思うのですが(ドップラー効果の問題など)なぜうなりだけエネルギーを考えるのでしょうか？
＞
あなたが今までに遭遇した問題が、ことごとく、波のエネルギーを論じる必要性が無いものであったというだけのことでは？

・最後に別の導出方法ですが弱め合い (強め合い)の点で必ず波一個分となるのに納得がいかず今回の導出法を調べてみました
＞うなりの周期をTとします
耳元の媒質の振動について
(言うまでもなく)2つの音の波を重ね合わせたものがt=0[s]で強め合いなら,次の強め合いの時刻はt=T[s]と言う意味ですよね
つまり、強め合いから次の強め合いの間隔がT[s]ということ
ここで、1つ目の波の振動数をf1,2つ目をf2とすると
(f1<f2と仮定)
1つ目の波よる変位はy1=Asin(2πf1)t
2通目によるものはy2=Asin(2πf2)t
耳元の媒質において、この2つを重ね合わせたものは
Y=y1+y2
t=0のときはy1､y2ともにsin以下が０になるので（Asin0となるので)Yは最大（強め合い）
t=0以外の強め合いの時刻は、y1､y2ともにsin以下がπの偶数倍または奇数倍になる時で、
（例y1=Asin13π、y2=Asin15π→Y=-2Aで最小（振幅の絶対値=|-2A|=2Aが最大なので強め合い）・・・など）
一般化すると、2πf2t-2πf1t=2π(f2t-f1t)=(2π)k…①　　（Kは自然数）
（2πkとなる理由は
2πf1t、2πf2tの双方ともπの偶数倍なら2πf2t-2πf1t=(πx偶数)-(πｘ偶数)=πx偶数=2kπ
2πf1t、2πf2tの双方ともπの奇数倍なら2πf2t-2πf1t=(πx奇数)-(πｘ奇数)=πx（奇数―奇数）=πｘ偶数＝2kπ)
①より、f2t-f1t=k
例えば時刻t=0でｙ１、ｙ２ともに変位がプラス方向に最大（波の山）であるとしたなら、
結局f2t-f1t＝ｋの意味するところは
強め合いの時刻0[s]と、t[s]におけるｙ１とy2の山の数の差、または谷の数の差（ｋ）　という事になります
よって、t=0の次の強め合いの時刻Tとはk=1をさすことになります
つまり、うなりの周期をT(t=T)とすれば、k=1でf2t-f1t=f2T-f1T=1
∴T=1/|f1-f2|
f=|f1^f2|
という事ですが納得いきませんか？

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/07/01 18:38

「うなり」は、ある地点でどう聞こえるか、という話ですから、座標はある特定の点に固定して、そこでの振幅がどう変化するのかという話です。

座標と時間の「2変数関数」で扱っても、「座標」を固定して議論するなら結果は同じことでしょう。

波の y-x と y-t の関係をきちんと理解されていますか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なるほどうなりは音波で考えているから媒質の位置のみの考慮で良いということですね。一応グラフの違いについては理解しているつもりですがうなりという現象は音波のみで考えるのが普通なのでしょうか？ドップラー効果等は音波だけでなく光波や一般の並についても考えるのでうなりもそうではないかということから全体の波形としての動き(yｰxグラフ)とある任意の媒質点の単振動(yｰtグラフ)をどちらも考えた方が一般性があって良いのではないかと考えた所存です。
それと山谷で音が観測されるので振動数の2倍というところですがつまり音波というものは耳元の媒質の変位が最大であるときと最小であるときに音の大きさが最大であるということが波動エネルギーU=2A²π²ρf²vという式から計算上分かるということでよろしいでしょうか？

お礼日時：2019/07/04 19:54

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/07/01 13:19

まずうなりについてですが画像では時刻に関する関数を扱っていますがなぜなのでしょうか。

変位と時刻の2変数関数で扱った方が一般性があって良いと思うのですが。教科書で書かれているようなうなりのグラフを見て見ても横軸が時間軸になっているのも少し疑問です。
>>>「変位と時刻の2変数関数で扱った方が一般性があって良いと思う」という事は、画像の式のように時間関数、教科書のように横軸tのグラフに異論はないという事ですよね？言っていることに矛盾がありませんか？

それは、置いておくとして、うなりとは例えば同一規格(501Hz)の２つのおんさを用意して、
片方には輪ゴムをつけて499Hzにして、これらを同時に鳴らしたときに聞こえてくる、ワーンワーンという音の強め合い、弱めあいの事ですよね。うなりは耳で聞くので、観察する必要があるのは耳元にある媒質（1点）の振動の様子です。
耳元の媒質の振動に関して、このワーンワーンという音の変化は時間経過（時刻）に従って起こるものですから、まずは時間を相手にする必要があります。
また、音波の強め合い弱めあいが「うなり」の原因ですから、２つのおんさによる波の変位が耳元の媒質ではどのように重ねあわされるのか観察する必要もあります。従って波の変位を考える必要もあります
つまりは、耳元の媒質において、２つの音波の振動を重ね合わせた変位を、時間経過で観察するという事になります。
そこで、グラフは横軸が時刻、縦軸が耳元の媒質の変位　とするのが適切で見やすいはずです。
そして、画像のようにｙ、ｙ１、ｙ２と設定するのが普通ですから、耳元の媒質にとどく2つの音波の変位の重ね合わせは以下の正弦関数となりますよね
y=y1+y2
=Asin2πf1t+Asin2πf2t…①
=2Asin(~t)cos(~t) …②　←←←三角関数の和積の公式利用
①②いずれも変位yと時刻tの2変数関数です。

次に「振動数の差が小さいので」以下について
上の音叉の例で考えてみてくださいf1=501,f2=499で画像ではf1≒f2とみなしています
このときf1+f2=1000⇔(f1+f2)/2=500≒f1≒f2ですから
sin()の（）内は2πf1tないしは2πf2tつまり
sin()=sin(2πx500)t=sin1000πtですのでこれは時刻が0.001[s]変化するごとに同じ変化を繰り返し（1周期=0.001[s])となり
例えばその1/4の時間の0.00025秒時刻が変わっただけでもsin()の値は大きく変化してしまします。
一方、|f1-f2|=501-499=2ですから,|f1-f2|/2=1で
cos()の（）内は2π(1/2)t=πtで
cos()=cosπt
こちらは、1周期2[s]ですから、0.01秒くらいの時間経過では対してcos()の値は変化しません。sin()の時の「0.00025秒時刻が変わっただけでもsin()の値は大きく変化」に比べれば時間経過に対してcos()はゆっくり変化するという事です。
画像では、sinの項の値の変化がきわめて短い時間の変化で起こるので、人間の耳にはその変化を捉えきれない、cosの項の変化ならゆっくりなので耳で感じ取れると言っています。従って、感じ取れないsin()の項は無視してcos()の項のみ見ればうなりを理解できると言っています（以下振幅の2乗～、は画像に書かれている通り）

なお、別の導き出し方として
「２つの音波の振動数をf1,f2として、この２つの音波の振動が１つだけずれた時にうなりが1回起こる」ということを実際に2つの音波のグラフを書いて変位を重ね合わせて確認すれば
うなりの周期Tは
|f1T-f2T|=1より|f1-f2|T=1⇔T=1/|f1-f2|
うなりの振動数Fは
F=1/T=|f1-f2|
とできます。（こちらの方が分かりやすいかも）

この回答へのお礼

返答が遅くなってしまい申し訳ありません。
回答ありがとうございます。
耳元の振動に関してとの事ですがうなりという現象は音波のみで考えるのが普通なのでしょうか？一般の波についてうなりを考えるならば時刻だけでは物足りないかなと思いました。
A²以降についての話ですが波動エネルギーがU=2A²π²ρf²vで表されるのは知っていますが人間の感じる音というものはこの音エネルギーを感じとっているということですか？鼓膜が振動を伝えられて聞こえるものと理解しているのですが。さらに一般の波については二乗をしてエネルギーを考えて観測をしていないと思うのですが(ドップラー効果の問題など)なぜうなりだけエネルギーを考えるのでしょうか？
最後に別の導出方法ですが弱め合い (強め合い)の点で必ず波一個分となるのに納得がいかず今回の導出法を調べてみました。

長々と申し訳ありません。理解能力がほかより低いもので、よろしくお願いします。

お礼日時：2019/07/04 19:45