大学の微積、極座標の問題についての質問です。 r=e^（-aθ） （θ≧0）の曲線の長さLを求めよ。

大学の微積、極座標の問題についての質問です。
r=e^（-aθ） （θ≧0）の曲線の長さLを求めよ。また、曲線の図形もかくこと。


この問題がわかりません。
どなたかお願いします。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/07/28 13:32

dL=√((dr)^2+(rdθ)^2)

=√[{(dr/dθ)^2+r^2}^2(dθ)^2]
=√(a^2+1)√{(rdθ)^2}
=√(a^2+1)√{(e^(-aθ)dθ)^2}
=√(a^2+1)e^((-a/2)θ)dθ
(θ増加方向での積分を仮定)

積分はご自分で。この形だとθ=0~∞でLは求まるね。

No.2 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2019/07/26 15:23

r=e^（-aθ） （θ≧0）、dr/dθ=-ae^（-aθ）、ｄｒ＝-ae^（-aθ)*dθ

L=∫√((dr)²+(dθ)²)＝∫√((-ae^（-aθ)*dθ)²+(dθ)²）
　＝∫√(a²(e^（-aθ))²+1）dθ
＝ln|√(a²(e^（-aθ))²+1）+1|/|√(a²(e^（-aθ))²+1）-1|-2√(a²(e^（-aθ))²+1）+C
へ適当なa,θの範囲を当てはめれば長さLは求まります。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/07/26 14:13

a>0 なら、-aθ < 0 ですから

　θ = 0 のとき r = 1
　θ → ∞ のとき r → 0
です。
必要なら、
　θ = 1/a のとき r = 1/e
なども使ってグラフを書いてください。
縮小する渦巻かな。

a=0 なら、曲線の式は
　r = 1
円かな。

a<0 なら、-aθ > 0 ですから
　θ = 0 のとき r = 1
　θ → ∞ のとき r → ∞
です。
必要なら、
　θ = -1/a のとき r = e
なども使ってグラフを書いてください。
拡大・発散する渦巻かな。

a についての条件とか、θの範囲（たとえば 0≦θ<2パイとか）は付いていないのかな？

曲線の長さは、微小な θ の増分に対応する曲線の長さ（円周で近似かな）を求め、それを積分すれば求まりますが、θ の範囲を限定しないと有限値にならない。