∫_{0}^{π/4}dx/{sin²x+3cos²x}の計算の途中式を教えて下さい。

∫_{0}^{π/4}dx/{sin²x+3cos²x}の計算の途中式を教えて下さい。

質問者からの補足コメント

• ∫_{0}^{π/4}{dx}/{sin²x+3cos²x}です。

    補足日時：2019/11/09 12:21

No.3 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/11/15 22:18

x=0→π/4 の定積分ということで宜しいでしょうか?

∫[x=0→π/4] dx/{sin²x+3cos²x}
=∫[x=0→π/4] {sec²x dx/tan²x+3}
=∫[x=0→π/4] (1+tan²x)dx/(3+tan²x) (※1)
ここで t=tan x とおくと
x=0→π/4 のとき t=0→1
dt=sec²x dx
dx=dt/(1+t²)
(※1)=∫[t=0→1] dt/(3+t²)
=1/3 ∫[t=0→1] dt/{1+(t/√3)²} (※2)
ここで更に t=√3 tanθ とおくと
t=0→1 のとき θ=0→π/6
dt=√3 sec²θdθ
(※2)=1/3 ∫[θ=0→π/6] √3 sec²θdθ/(1+tan²θ)
=√3/3 ∫[θ=0→π/6] dθ
=√3/3 [θ][θ=0→π/6]
=√3 π/18

ということで、2回置換積分すればなんとかなる。
1/cosθ=secθ
は、三角関数の微積分でよく使うのでおさえておきましよう。

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/11/09 17:26

途中式ということなので、

(sinx)^2 + 3(cosx)^2
=1+2(cosx)^2
=1+2(1-(sinx)^2)
=3-2(sinx)^2

∫[0, π/4](1/((sinx)^2 + 3(cosx)^2))dx
=∫[0, π/4](1/(3-2(sinx)^2))dx
=∫[0, π/4](1/((√3-√2sinx)(√3+√2sinx))dx
=(1/2√3)∫[0, π/4] 1/(√3-√2sinx) + 1/(√3+√2sinx) dx
=(1/6)∫[0, π/4] 1/(1-√(2/3)sinx) + 1/(1+√(2/3)sinx) dx

t=tan(x/2)とすると、[0, π/4]は[0, -1+√2]となる。
sinx=2t/(1+t^2)
dx=2/(1+t^2) dt

=(1/6)∫[0, -1+√2] 1/(1-√(2/3)(2t/(1+t^2))) + 1/(1+√(2/3)(2t/(1+t^2)) 2/(1+t^2) dt
=(1/3)∫[0, -1+√2] 1/((1+t^2)-2√(2/3)t) + 1/((1+t^2)+2√(2/3)t) dt
=(1/3)∫[0, -1+√2] 1/((t-√(2/3))^2 + 1/3) + 1/((t+√(2/3))^2 + 1/3) dt
=(√3/3){arctan(√3(t-√(2/3)))+arctan(√3(t+√(2/3)))}[0, -1+√2]

あとはtに値を代入すれば答えが出るでしょう。

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2019/11/09 12:05

∫_{0}^{π/4}dx/{sin²x+3cos²x}＝_{0}^{π/4}x/{sin²x+3cos²x}＋Ｃ＝Ｃ（積分定数）

この回答へのお礼

∫_{0}^{π/4}{dx}/{sin²x+3cos²x}です。

お礼日時：2019/11/09 14:45