高校確立問題

1枚の硬貨を６回投げるとき6回目に3度目の表の出る確率

５C2（1/2)2・（１－1/2）５－２+２/1
と考えましたが
回答を見ますと最後のところが×2/1
となっています。
どうしてかけるのですか

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/12/05 16:39

簡単な例として　硬貨を2回投げる場合で考えます

樹形図は
1回目ー2回目
　表　－　表
　　　＼　裏
　裏　－　表
　　　＼　裏
ですから　すべての場合の数は2x2通りで
表ー裏　となる場合の数は1通りです
従って　表ー裏　となる確率は、
表ー裏の場合の数を、すべての場合の数で割って
1/(2x2)ですよね

1/(2x2)=(1/2)x(1/2)＝(1回目おもてのケース/1回目のすべての場合の数)x(2回目おもてのケース/2回目のすべての場合の数)ですから、樹形図に確率まで書き込んで
1回目ー2回目
表(1/2)－表(1/2)・・・→確率：(1/2)x(1/2)=1/4
　　　＼裏(0.5)・・・→(1/2)x0.5=1/4
裏(0.5)－表(1/2)・・・→0.5x(1/2)
　　　＼裏(0.5)・・・→0.5x0.5
(ただし、裏表の確率を区別するために、1/2と0.5としました）
とした場合、樹形図上で枝分かれせずにひとつながりである　表ー裏の確率はそれぞれの確率(1/2)と0.5を掛け算しても求められるという事になります。

一方、場合の数に戻って（1番目の樹形図に戻って）
表と裏が1回ずつ出る場合の数は1+1通りです
そしてその確率は、すべての場合の数で割って、(1+1)/4=(1/4)+(1/4)です
2番目の樹形図で考えても、(1/2)x0.5＋0.5x(1/2)＝1/4+1/4です
このように、樹形図上枝分かれしているものを複数合わせた確率を考えるときは、
枝分かれしているものを複数合わせた場合の数を考える場合と同様で　「足し算」となることが分かります。

これを踏まえて本問の樹形図です
1回目-2回目-3回目-4回目-5回目-6回目　の樹形図を考えるのは大変ですから少しまとめます

1回目～5回目まで　・・・　6回目
表2回裏３回　　　　　　→　表
　　　　　　　　　　　　＼　裏
表2回裏３回以外のケース　→表
　　　　　　　　　　　　＼裏
という樹形図が書けます。
この樹形図の下半分は問題を解くには不要ですから、上半分を確立付きで書きなおしてみます


1回目～5回目まで　・・・　6回目
表2回裏３回(5C2)(1/2)²(0.5)³　→　表(1/2)
　　　　　　　　　　　　　　　　＼　裏(0.5)
ここに、(5C2)(1/2)²(0.5)³　は　「反復試行の確率」の公式を利用です
樹形図上枝分かれせずにひとつながりなので、最後の1/2は掛け算で
求めるべき確率は(5C2)(1/2)²(0.5)³ｘ(1/2)となるのです


（なお、反復試行の確率の公式は、先に示した2回投げの例の考え方を拡張してまとめた物です
1回目-2回目-3回目-4回目-5回目　の樹形図を完成させて
そのうち　表2回ー裏3回となるものは
表-表-裏ー裏ー裏・・・｛確率(1/2)²x(0.5)³　（枝分かれせずひとつながりだから掛け算）｝
表ー裏ー表ー裏ー裏・・・｛確率(1/2)x(0.5)x(1/2)x(0.5)²＝(1/2)²x(0.5)³｝
などがありますが、表2回が5回のうち何回目と何回目に出るのかということから、
表2回ー裏3回（順番不問）　は樹形図上に全部で5C2本あります
おのおの確率は(1/2)²x(0.5)³で枝分かれしているのだから、これをひとまとめにした「5回投げて表2回裏3階が出る確率」は、(1/2)²x(0.5)³を　5C2こ足したものとなります
つまり この足し算は、簡単に5C2x(1/2)²x(0.5)³ とも表せますが、これが反復試行の確率の公式の仕組みです）

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/04 23:32

6回目に3度目の表が出るってことは、

５回目までに２度の表と３度の裏が出ていて、「かつ」６回目は表が出る。
この「かつ」を表現するのが、質問の「かける」。
５回目までに２度の表と３度の裏が出る確率は (5C2){(1/2)^2}{(1/2)^(5-3)} で、
これに６回目で表が出る確率 1/2 を「かける」と、
確率 (5C2){(1/2)^2}{(1/2)^(5-3)} の事象が起こり、しかも
それとは独立な確率 1/2 の事象も起こる確率が求まる。
確率の「積法則」ってやつだ。