0≦x≦πにおける Ｙ=－2sinX ＋ 3cosXの最大値 って、どうやって求めますか？ できるだ

0≦x≦πにおける
Ｙ=－2sinX ＋ 3cosXの最大値

って、どうやって求めますか？



できるだけ分かりやすく解説していただけると助かります！(＞＜)

質問者からの補足コメント

• 答えは、3になるらしいです(＞＜)
  急ぎです解説お願いします

    補足日時：2020/02/03 20:55

No.6 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/02/03 22:56

三角関数の合成公式を利用します。

asinx+bcosx=√(a²+b²) sin(x+α)
ただし、cosα=a/√(a²+b²) , sinα=b/√(a²+b²)

Ｙ=－2sinX ＋ 3cosX
=√{(-2)²+3²} sin(x+α)
=√13sin(x+α)……①
ただし、
cosα=-2/√{(-2)²+3²}=-2/√13
sinα=3/√{(-2)²+3²}=3/√13……②
cosα<0 , sinα>0 より、π/2<α<π ( αは第2象限の角です。)

0≦x≦πより、α≦x+α≦π+α
αは第2象限の角で、そこから+πの範囲で考えるということは、第3象限、第4象限まで考えます。
sin(x+α)は、第二象限では正で、角が大きくなるにつれて小さくなり、第3象限、第4象限では負です。
よって、この範囲で sin(x+α) が最大になるのは、x+α＝α　のときです。つまり、x=0 のときです。
①にあてはめて、Yの最大値は、
Y＝√13sinα
②より
Y＝√13×(3/√13)=3
したがって、Yの最大値は３ (ｘ＝０のとき) です。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2020/02/03 22:34

１つの三角関数にまとめるのが「定石」です。

そのためには、ちょっとテクニックがいります。
「-2sinX」の係数「-2」と、「3cosX」の係数「３」から
　√[(-2)^2 + 3^2] = √13
という値を作り、
　-2/√13 = cosθ　　　　　　　　　　　　　　　①
　3/√13 = sinθ　　　　　　　　　　　　　　　②
となる角度 θ を考えます。これからすると
　パイ/2 < θ < パイ
になります。
つまり、斜辺の長さが √13、直交する辺の長さが 2、3 の直角三角形を考えるということです。「２」が「-2」なので「パイ/2 < θ < パイ」ということになります。

そうすれば

与式 = -2sinX + 3cosX = √13 {(2/√13)sinX + (3/√13)cosX}
　　= √13 {sinX･cosθ + cosX･sinθ}　　　　　　　　　　　　　　　③

と書けます。ここまではよろしいですか？

あとは「加法定理」を使えば、これは

与式 = √13 sin(X + θ)　　　　　　　　　　　　　　　④

ということになります。

0≦X≦パイ であれば、パイ/2 < θ < パイであることから
　パイ/2 < X + θ < 2パイ
となり、最小値は -√13 で確定しますが、最大値は X + θ の下限値のときになります。

X + θ の下限値は X=0 のときであり、そのとき④は

　√13 sinθ = √13 ･(3/√13)　　　←②より
　　　　　= 3
　
となります。

No.4 回答者： むらさめ 回答日時： 2020/02/03 21:18

勘違いしてました、上の方々で合っています

No.3 回答者： スチールウール 回答日時： 2020/02/03 21:14

あっ、=忘れました

-sinX≤-sin0
に訂正

No.1の人はsin(x+α)の最大値が1と言ってますが、そこが間違いです
それ説明するのに図が無いとしんどいです

π/2<φ<π
0≤X≤π
足して
π/2<X+φ<2π
なので、X=0で最大と言っても通じないでしょうし…
とりあえず、X+φ=π/2は取れないので、sinの中身は1になりません

No.2 回答者： スチールウール 回答日時： 2020/02/03 21:08

図を描くなら三角関数の合成を使って

Y=√(2²+3²)sin(X+φ)
として、π/2<φ<πとなるので、X=0で最大と示す

でも、cosは減少関数だし、-sinX<sin 0だからX=0で最大
Y=0+3=3
だけで良い気がする

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2020/02/03 21:08

0≦x≦π

y=－2sinx ＋ 3cosx　←　三角関数を加法定理を使ってまとめる
　そのために三平方の定理を使い、単位円の分母rを求める
　r^2=(-2)^2+3^2=4+9=13　→　r=√13
y/√13=(-2/√13)･sinx　+　(3/√13)･cosx　　求める式の両辺を√13で割る、
　(-2/√13)　(3/√13)　加法定理に使う三角関数となる角をαとでもすると下式のようになる
y/√13=cosα･sinx　+　sinα･cosx　←　これに加法定理を適応する
y/√13=sin(x+α)　
y=(√13)･sin(x+α)　←　0≦x≦π　αは第2象限の角なので、sin(x+α)の最大値=1　となることが解る


∴　答え　最大値　√13

加法定理を使うだけなのですが、問題が、最大値を求めるだけなら、αの具体的な角度が判らないくても構わないです。
角度αが大体どのへんなのかだけ解かれば、問題が解けることに気づくかどうかですね。

この回答へのお礼

答えが√13じゃなくて、3になるみたいなんです(＞＜)

お礼日時：2020/02/03 21:11