数学の問題を教えてください。 次の式をrsin(θ+‪α‬)の形に変形せよ。ただし、r>0、-π<‪

数学の問題を教えてください。

次の式をrsin(θ+‪α‬)の形に変形せよ。ただし、r>0、-π<‪α‬≦πとする。

√3cosθ-sinθ

式や考え方を教えて頂けると有難いです。

No.5 ベストアンサー 回答者： Arima01 回答日時： 2020/02/19 17:58

君は僕の回答だけを見ろ！

√3cosθ - sinθ

= 2 { (√3/2) cosθ - (1/2) sinθ}　←無理やり、三角関数でよく見る数字にする

= 2 { sin(2π/3) cosθ + cos(2π/3) sinθ}　←三角関数に変形する（真ん中の符号を＋にすることを忘れずに）

= 2 sin(θ + 2π/3)　←加法定理を適用する


※他の回答者さんの回答も間違ってはいませんが、本質を理解するには不十分です。
ただ、実際は自分が速く計算できる方を選びましょう。

=====　別パターン(cosine)　=====
√3cosθ - sinθ
= 2 { (√3/2) cosθ - (1/2) sinθ}
= 2 { cos(π/6)cosθ - sin(π/6)sinθ}（真ん中の符号を−にすることを忘れずに）
= 2 cos(θ + π/6)

この回答へのお礼

よくわかりました！ありがとうございます。

お礼日時：2020/02/19 18:05

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/02/19 12:21

機械的に以下の手順でできます

・係数√3と1を取り出して、それぞれを直角三角形の高さと底辺の長さだとみなす
・すると　三平方の定理により　そのような直角三角形の斜辺は2
・この斜辺２でくくりだす　→√3cosθ-sinθ=(2√3/2)cosθ-(2/2)sinθ=2{(√3/2)cosθ-(1/2)sinθ}…①
・ここで、rsin(θ+‪α‬)を加方定理により変形する　→加法定理：sin(θ+‪α‬)=sinθcosα+cosθsinα
⇔rsin(θ+‪α‬)=r(sinθcosα+cosθsinα)…②
・√3cosθ-sinθ＝rsin(θ+‪α‬)と変形しようとしているので、①②を使って左辺と右辺をそれぞれ書き換える
→2{(√3/2)cosθ-(1/2)sinθ}=r(sinθcosα+cosθsinα)=r(sinαcosθ+cosαsinθ)…③
・このことから r=2が決定！
・また、③の左辺と右辺を比較して
sinα=√3/2,cosα=(-1/2)
このような角度αは、２π/3
・ゆえに　ｒとαが分かったので
√3cosθ-sinθ＝rsin(θ+‪α‬)＝2sin(θ+2π/3)
このような手順となります。（この手順になる意味はテキストを読んで確認してみてください）

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2020/02/19 10:52

一般論として

　A･sinθ + B･cosθ
= [√(A^2 + B^2)]{[(A/√(A^2 + B^2)]sinθ + [(B/√(A^2 + B^2)]cosθ}　　　　①

と書け、ここで
　tanφ = B/A
　cosφ = A/√(A^2 + B^2)
　sinφ = B/√(A^2 + B^2)
となる角度 φ を使って

① = [√(A^2 + B^2)]sin(θ + φ)　　　　②

と書けることは分かりますか？

①→②は

　cosφ･sinθ + sinφ･cosθ = sin(θ + φ)

の「加法定理」を使っています。

質問の問題に対しては
　A = -1
　B = √3
にすれば求まります。

　tanφ = B/A = -√3
　cosφ = A/√(A^2 + B^2) =-1/2
　sinφ = B/√(A^2 + B^2) = √3 /2

なので
　φ = (2/3)パイ
ですね。

つまり
　√3cosθ - sinθ = 2sin[θ + (2/3)パイ]

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/02/19 02:10

加法定理は知っていますか?

No.1 回答者： スチールウール 回答日時： 2020/02/19 00:54

x座標にsinの係数を

y座標にcosの係数を取る
つまり(-1, √3)
これと原点の距離は2(=r)
角度は2π/3(=α)

よって
2sin(θ+2π/3)