一次関数と二次関数の違いって、xが2乗であるかそうでないかだけなのになぜあんなにもグラフの形が変わっ

一次関数と二次関数の違いって、xが2乗であるかそうでないかだけなのになぜあんなにもグラフの形が変わってしまうのでしょうか？
確認なのですが、一次関数というのは、xの値を定めるとyの値もそれに伴って決まるということですよね？
なぜ関数を一次とか二次と分けて考えるのか気になりました。数学得意な方お願いします！

No.8 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/03/16 15:32

1次関数の代表例

y=x
x=1を代入・・・y=x=1
x=2を代入・・・y=x=2
x=3を代入・・・y=x=3

2次関数の代表例
y=x²
x=1を代入・・・y=x²=1
x=2を代入・・・y=x²=4
x=3を代入・・・y=x²=9

別の2次関数の例
y=x²+x
x=1を代入・・・y=x²+x=1+1=2
x=2を代入・・・y=x²+x=4+2=6
x=3を代入・・・y=x²+x=9+3=12

このように見てみるとx²の項のほうが、ｘを2回掛け算する分、ｘの項より変化が激しいことが分かります
したがって最後の例のように、x²の項があるとその変化分がｘの項の変化分より上回ってきます
ゆえに、x²の項があるのとないのでは変化の仕方は大違いで、その「大違い」がグラフの形にも表れるのです

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/16 14:16

二次関数 ax^2+bx+c と一次関数 bx+c は、二次項 ax^2 があるかないかだけの違いですが、

その ax^2 が ax^2+bx+c の中で一番重要な項なので、あるとないとではグラフの形が大きく変わります。
二次関数のグラフを考えるとき、「平方完成」ということをします。
二次関数のグラフを描くときにも、二次方程式を解くときにも、重要な作業です。
平方完成が何だか知らない場合は、ちゃんと教科書を読んでおきましょう。
y = ax^2+bx+c (a≠0) を平方完成すると、y = a(x-p)^2+q, p = -b/(2a), q = -(b^2-4ac)/(4a) となります。
この式は、y = ax^2+bx+c のグラフが y = ax^2 のグラフを x 軸方向に +p と y 軸方向に +q だけ
平行移動したものであることを示しています。平行移動したグラフは、もとのグラフと合同ですから、
y = ax^2+bx+c のグラフと y = ax^2 のグラフと同じ形だということです。
b や c の違いは細部であって、y = ax^2+bx+c の性質はおおまかには ax^2 でほぼ決まるのです。
ax^2 があるかないか「だけ」の違いが細かい違いではないことを解ってもらえたでしょうか？

No.6 回答者： head1192 回答日時： 2020/03/16 09:11

第一に質問に対しては、こう答えるしかない。

一次関数たとえばｙ＝ｘの場合、（ｘ、ｙ）は・・・（－２，－２）（－１、－１）（０，０）（１，１）（２，２）（３，３）・・・となる。
右側のｙの数値の変化に注目。

二次関数たとえばｙ＝ｘ²の場合、（ｘ、ｙ）は・・・（－２、４）（－１、１）（０，０）（１，１）（２，４）（３，９）・・・となる。
やはり右側のｙの数値の変化に注目。

グラフの形は、これらの数値の反映に過ぎない。
もう少しいえば「２乗というのは、数字が大きくなればなるほど大きな変化をもたらす」ということにでもなろうか。

「一次関数なら直線」「二次関数なら放物線」という理解をしておくと、関数の次数を見ただけで変化の様子がだいたい想像できる。

一次関数なら単調増加あるいは単調減少だから途中で変化の様子が変わるということはない。
「ｘ＝３→４の間のｙの変化がー１ならｘ＝３６２４→３６２５の間のｙの変化もやはり－１である」という論を展開することができる。

二次関数なら言わずと知れた放物線である。
ｘのどこか一点でｙが最大値あるいは最小値となることは決まっている。
なので、そのことを利用して与えられた二次関数の性質について調べることができる。
たとえば「ｙ＝ａｘ²＋ｂにおいて、ｙの最大値がｃとなるときのａ，ｂの取りうる値を調べよ。」

他にも
３次関数なら例外を除いて増加→減少→増加あるいは減少→増加→減少と変化する曲線。
（これは高校の基本的な微分法の練習問題としてたくさん触れる）
サインカーブなら基本的に増加→減少→増加→・・・を繰り返す周期を持つ関数。
などなど。

指数関数的という言葉がある。
あの有名な「最初の日は金貨１枚をください。次の日は２枚ください。次は４枚、次は８枚、・・・これを１か月間続けてくだされば十分です」
のあの話を数学的にしたものである。
指数関数の特徴は「最初は少しずつしか増えないが、次第に変化が急激になり、あっという間に莫大な数になる」
というものである。
なので数学者や物理学者は指数関数と聞けば「ああ、大きな数を扱うのだな」と直感できる。

ここに挙げたのはほんの一例である。

No.5 回答者： くんこば 回答日時： 2020/03/16 09:09

そもそも、グラフが何なのか分かってる？

それすら分かってないような質問だが。

No.4 回答者： 工作好きのとし 回答日時： 2020/03/16 09:00

途中で誤って送信してしまいました。

続きになります。

二次関数の場合、yに対応するxの個数が0〜2個あります。
言い換えれば、答えがyになるxの値が無かったり、複数あったりします。



2次関数のグラフを用意して先程と同じ事を試してみてください。

グラフとx軸に平行に引いた線の交点は0〜2箇所になります。

No.3 回答者： mini_ta3298 回答日時： 2020/03/16 08:59

＞一次関数というのは～ですよね？

まぁそうですね。関連の濃さとしては、次元の近い(低い)方が明快ですね。
二次・三次となるにつれ、パターンとしての要素が増えますから。

＞なぜあんなにもグラフの形が変わってしまうのでしょうか？
どういった説明を望むのか疑問ですが、漠然とした感覚が不快であるなら…
　伝言ゲームってあるじゃないですか。
　あれ、中間の人数が増えるほど着地点を見失いますよね。感覚的にはそれに近いかと。

No.2 回答者： 工作好きのとし 回答日時： 2020/03/16 08:55

一次関数ではyに対応する(答えがyになる)xは一つです。

(傾き一定の場合)

試しにグラフを使って確認してみてください。

y軸(グラフの縦の軸)上の好きなところに点を打ち、その点を通るx軸に平行な線を引いてみてください。

その線はグラフと一箇所で交わると思います。

これは任意のyの値に対応するxの値がただ一つある事を示しています。

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2020/03/16 08:49

一定の速度で動いている物の移動距離を時間であらわしたものが一次関数

一定の加速度で動いている物の移動距離を時間であらわしたものが二次関数
のように考えると、わかりやすいかなぁ？

関数として分けて考えるのではなく、簡単な関数から学んでいくと、一次関数、二次関数となるだけ。
それ以外の関数もたくさんあるけど、数1でやるのは、一次関数、二次関数と、三角関数。
因数分解とグラフの関係などを理解することによって、直管的に関数ってどういうものなのかが理解しやすくなる。