円筒面を移動する物体の問題について

> 水平面ABに半径rの円筒面BCDが続いている。
> 質量mの小物体Pを点Aから速さv0で打ち出した。
> 面はなめらかであり、重力加速度の大きさはgとする。
> 1).
> Pが円筒面から離れることなく、点Dを通過するためには
> 点Dでいくら以上の速さvを持っている必要があるか。
> また、そのための条件v0を求めよ。

> ※図は下記サイトの質問文のものと同じです。
> https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

という問題を解いています。
解答では、点Dでの「遠心力と垂直抗力+重力」の釣り合いの式と
力学的エネルギー保存則の式を使っており、
答えはv>=√(gr), v0>=√(5gr)でした。

面がなめらかということは、
摩擦が存在しないことと同じと考えられ、
摩擦が無いならば速度の増減はないと思うのですが、
なぜvとv0で答えが異なるのでしょうか？

「遠心力と垂直抗力+重力」の釣り合いの式から
vを導出するだけでv0も求まったと考えていたため、解答に納得ができませんでした。

ご教授よろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/06/29 09:23

＞摩擦が無いならば速度の増減はないと思うのですが、

まさか。速度を落とさずに坂道を登れたら永久機関ができますよ。
「坂を登る」という仕事をすれば、それだけ運動エネルギーが減ります。
「高さが増す」ことによる「位置エネルギー」の増加分だけ「運動エネルギー」が減ります。

摩擦がないということは、この「位置エネルギー ＋ 運動エネルギー」（これを「力学的エネルギー」と呼ぶことが多い）が減らないということです。摩擦があると「熱」や「音」のエネルギーになります。

従って、円筒の最上部での速度 v は
　(1/2)mv^2 = (1/2)m(v0)^2 - 2mrg
になります。
摩擦があれば、さらに「摩擦力がした仕事」分だけ減った運動エネルギーになります。

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2020/06/29 11:39

あなたはこの問題の場合、力学的エネルギー保存がなぜなりたつか

知りたいのですか？

No.1 回答者： Zincer 回答日時： 2020/06/28 22:09

B→C→Dと円筒面にそって重力に逆らって上っていますので、位置エネルギーは増加します。

その分運動エネルギーは減少しますので、速さ（速度の大きさ）は減少することになります。